Metodo De Diferencias Finitas

METODO DE DIFERENCIAS FINITAS
INTRODUCCION
El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.
Básicamente, en una solución pordiferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).
METODO DE EXPANSION DE TAYLOR
El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este método no solodeduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que también deduce los términos de error.
Para una derivada de p-ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una aproximación de diferencia es [pic]
, así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción de laaproximación de diferencia para [pic]
en términos de [pic]
. La expansión de Taylor de [pic]
alrededor de [pic]
es [pic]
(1). Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada, tenemos [pic]
(2). Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2), obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Los términos que se ignoranconstituyen el error de truncado, representado por el término inicial, [pic]
. Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando [pic]
disminuye. La aproximación de diferencia hacia adelante, con el error de truncado incluido, se expresa como [pic]
(3), dónde [pic]
. El término [pic]
indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula [pic]
. Elerror también es proporcional a la segunda derivada [pic]
.
De la misma manera podemos expandir [pic]
alrededor de [pic]
en la forma [pic]
(4), y resolviendo nuevamente para la primera derivada, tenemos [pic]
y aquí de la misma manera [pic]
(5), dónde [pic]
. Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás.
Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):
[pic]
(6),expresión de la cual se ha eliminado el término [pic]
. Resolviendo para [pic]
, obtenemos [pic]
(7).
Con el término de error incluido, la aproximación de diferencia central se expresa como [pic]
(8), dónde [pic]
.
Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término [pic]
, el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de [pic]
y no a [pic]
. Entonces, reduciendo[pic]
reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones.
Como ya se expuso, una aproximación de diferencia de [pic]
requiere al menos [pic]
puntos de datos. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia mas exacta.
Como ilustración de lo anterior, deduciremos una aproximación de diferencia para la primera derivada [pic]
utilizandotres puntos de datos [pic]
, de modo que tenemos un punto mas del mínimo requerido. Las expansiones para [pic]
se escriben:
[pic]
(9).
[pic]
(10).
Con éstas dos ecuaciones es posible cancelar los términos de la segunda derivada, de modo que el término inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. Por otro lado, si se eliminaran los términos de la terceraderivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada, la aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el término del error inicial sería de segundo orden en lugar de ser de tercer orden.
Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10), obtenemos
[pic]
(11). Resolviendo para [pic]
:
[pic]
(12), dónde el término de error está dado por [pic]
. La (12) es...