Metodo de elemento finito

APORTACIONES AL ESTUDIO DE LAS MAQUINAS ELECTRICAS DE FLUJO AXIAL MEDIANTE LA APLICACION DEL
METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. TESIS DOCTORAL.
5. EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF ó FEM).
5.1. El método general.
5.1.1. Definición del método.

El método de los elementos finitos es un método de aproximación de problemas continuos, de tal forma
que [105] :
• El continuo se divide enun número finito de partes, “elementos”, cuyo comportamiento se
especifica mediante un número finito de parámetros asociados a ciertos puntos característicos
denominados “nodos”. Estos nodos son los puntos de unión de cada elemento con sus
adyacentes.
• La solución del sistema completo sigue las reglas de los problemas discretos. El sistema completo
se forma por ensamblaje de los elementos.• Las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas y pasan a ser el valor de estas
funciones en los nodos.
• El comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del comportamiento de los
nodos mediante las adecuadas funciones de interpolación ó funciones de forma.

El MEF, por tanto, se basa en transformar un cuerpo de naturaleza continua en un modelodiscreto
aproximado, esta transformación se denomina discretización del modelo. El conocimiento de lo que
sucede en el interior de este modelo del cuerpo aproximado, se obtiene mediante la interpolación de los
valores conocidos en los nodos. Es por tanto una aproximación de los valores de una función a partir
del conocimiento de un número determinado y finito de puntos.

5.1.2. Aplicación delmétodo.

La forma más intuitiva de comprender el método, al tiempo que la más extendida, es la aplicación a una
placa sometida a tensión plana. El MEF se puede entender, desde un punto de vista estructural, como
una generalización del cálculo matricial de estructuras al análisis de sistemas continuos. De hecho el
método nació por evolución de aplicaciones a sistemas estructurales.

Eduardo FríasValero Página 111 de 352
Departamento de Ingeniería Eléctrica. UPC.
Año 2.004

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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. TESIS DOCTORAL.
Un elemento finito e viene definido por sus nodos (i,j,m) y por su contorno formado por líneas que los
unen. Los desplazamientos u de cualquier punto del elemento seaproximan por un vector columna
r
u
r e
 a 
i
r e  r  e
u = N a = [Ni Nj ....] a = Na
∑ i i  j  (5.1)
 
 ... 

Y
vi(Vi)
i ui(Ui)
m
j
X

Figura 94. Coordenadas nodales (i, j, k) y desplazamientos de los nodos.

N son funciones de posición dadas (funciones de forma) y ae es un vector formado por los
desplazamientos nodales de los elementos considerados. Para el caso detensión plana (figura 87)
u(x, y) ui 
u =  , ai =  
v(x, y) vi 
• u: son los movimientos horizontal y vertical en un punto cualquiera del elemento.
• ai: Son los desplazamientos del nodo i.
Las funciones N, N, Ni j m, han de escogerse de tal forma que al sustituir en (5.1) las coordenadas
nodales, se obtengan los desplazamientos nodales.
Conocidos los desplazamientos de todos lospuntos del elemento, se pueden determinar las
deformaciones (ε) en cualquier punto. Que vendrán dadas por una relación del tipo siguiente:

Eduardo Frías Valero Página 112 de 352
Departamento de Ingeniería Eléctrica. UPC.
Año 2.004

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METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. TESIS DOCTORAL.

ε = Su (5.2)Siendo S un operador lineal adecuado. Sustituyendo, la expresión (5.1) en (5.2) se obtiene las
expresiones siguientes,
ε = Ba (5.3)
B = SN (5.4)
Suponiendo que el cuerpo está sometido a unas deformaciones iniciales ε0 debidas a cambios
térmicos, cristalizaciones, etc. y que tiene tensiones internas residuales σ0 la relación entre tensiones y
deformaciones en el cuerpo viene dada por
σ...