Metodo De Euler Mejorado

METODO DE EULER MEJORADO

* Emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo (punto inicial y punto final)
* Se promedian las derivadas (para obtener la estimación de la pendiente)La fórmula es la siguiente: 

Donde

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicióninicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el puntode la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada. 
Ejemplo 1
Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar si: Solución
Definimos y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de primero yposteriormente el de .
Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales: 
 
En nuestra primeraiteración tenemos:
| |

|
para calcular se usará y no .
Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:
| |

|
El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimoslos resultados en la siguiente tabla: 
n | | |
0 | 0 | 1 |
1 | 0.1 | 1.01 |
2 | 0.2 | 1.040704 |
3 | 0.3 | 1.093988 |
4 | 0.4 | 1.173192 |
5 | 0.5 | 1.28336 |Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es: 

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero: 
 Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más...