Metodo de euler y euler mejorado

Ecuaciones Diferenciales. Curso 2008-09 M´todos Num´ricos: Euler y Euler mejorado e e Material Complementario para la Clase Pr´ctica 5 a
• Introducci´n (pag. 1) o • El m´todo de Euler (pag. 3) e • M´todo de Euler mejorado (pag. 8) e • Errores (pag. 10) • Orden y convergencia (pag. 11)

Introducci´n o
Una parte considerable de la llamada matem´tica aplicada es aquella que estudia las aecuaciones de la f´ ısica. Si clasificamos los problemas de la f´ ısica, con ello estaremos clasificando los principales problemas que aparecen dentro de las ecuaciones diferenciales. Cada clase de problemas tendr´ asociada una o varias estrategias de soluci´n a o exacta o aproximada. Los problemas de la f´ ısica caen en una de las tres siguientes clases de problemas (ver [3]): i. Problemas de propagaci´no ii. Problemas de equilibrio iii. Problemas de valores propios Hasta el Tema 5 de la asignatura Ecuaciones Diferenciales hemos considerado problemas de propagaci´n. Estos son problemas de la f´ o ısica que est´n gobernados por a problemas de valores o condiciones iniciales en dominios abiertos, en los cuales la informaci´n conocida (la condici´n inicial) marcha hacia adelante en el tiempo t o o oen el espacio x desde el estado inicial. Los problemas de equilibrio son problemas de “valores en la frontera” que estudiaremos en el Tema 7 de la asignatura. Se trata de problemas que est´n gobernados a por ecuaciones cuya soluci´n o algunas de sus derivadas, tienen valores conocidos o en la frontera del dominio. Dos casos de mucho inter´s en la ingenier´ son las e ıa ecuaciones con condicionesen la frontera que gobiernan a la “cuerda vibrante” y a 1

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la “viga”. Estos problemas est´n dados en dominios cerrados, son estacionarios (no a dependen del tiempo) y las ecuaciones que les describen tienen como m´ ınimo orden dos. Los problemas de valores propios constituyen un tipo especial de problemas de equilibrio en los que la soluci´n existe solamentepara valores especiales de un o par´metro (valores propios o autovalores). La carga cr´ a ıtica que produce pandeo de una viga es un valor propio de cierto problema de frontera o de contorno. En el Tema 7 el alumno dar´ los primeros pasos en el estudio de esta tercera clase de a problemas. Ya hemos visto someramente c´mo podemos visionar el tema de las ecuaciones o diferenciales atendiendo al tipo deproblema f´ ısico que sirve de modelo. Ahora dividiremos en tres grandes areas a los m´todos que nos permiten estudiar las soluciones ´ e de estos problemas. Estas son: i. M´todos exactos. e ii. M´todos cualitativos. e iii. M´todos num´ricos. e e Digamos, para entendernos mejor, que calcular o estudiar la soluci´n de una ED, o o de un PVI, significa hallar cierta informaci´n sobre la soluci´nexacta que no o o conocemos, aquella informaci´n que realmente nos interesa y que puede ser util o ´ para nuestro trabajo. Los m´todos que hemos aplicado en los temas 2, 3, 4 y 5, para calcular la soluci´n e o general, o particular, de una ED, han sido m´todos exactos. Utilizando herramiene tas simb´licas del MatLab hemos calculado esas mismas soluciones, expresadas en o t´rminos de f´rmulas cerradas,expl´ e o ıcitas o impl´ ıcitas. Esos m´todos cuyo objetivo e es la obtenci´n de soluciones exactas tienen grandes limitaciones, pues un imporo tante n´mero de problemas que aparecen en las aplicaciones no tienen soluciones en u t´rminos de funciones elementales. En este punto recordemos que el m´todo de las e e series de potencias, estudiado en el Tema 5, nos permite obtener “exactamente” lasoluci´n de una ED de segundo orden, expresada en t´rminos de su serie de poteno e cias en torno a un punto x0 , independientemente de que ´sta soluci´n sea o no sea e o elemental. Para compensar las limitaciones de los m´todos exactos contamos con las otras e dos ´reas arriba mencionadas. En el area de los m´todos cualitativos estudiamos o a ´ e desarrollamos m´todos que nos permiten conocer...