Metodo de euler
Páginas: 3 (660 palabras)
Publicado: 18 de mayo de 2009
MÉTODO DE EULER
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva soluciónde la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto detangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado .
Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuacióndiferencial dada en el punto . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:
donde m es la pendiente. Eneste caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :
Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a, y por lo tanto estará dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:
Esta aproximación puede ser suficientementebuena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir elerror y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación enn pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a .
En una gráfica, tenemos lo siguiente:
Ahora bien, sabemos que:
Para obtenerúnicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que:
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva...
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva soluciónde la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto detangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado .
Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuacióndiferencial dada en el punto . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:
donde m es la pendiente. Eneste caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :
Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a, y por lo tanto estará dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:
Esta aproximación puede ser suficientementebuena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir elerror y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación enn pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a .
En una gráfica, tenemos lo siguiente:
Ahora bien, sabemos que:
Para obtenerúnicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que:
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva...
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