Metodo De Euler

MÉTODO DE EULER
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:
Una descripción informal
Considere el problema de calcularla pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto decomienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcularla pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el quetrabajamos es finito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).
Procedimiento
Consiste en dividir los intervalos que va de x_o\, a x_f\, en n\, subintervalos de ancho h\, ; osea:
h = {x_f - x_o \over n}\,
de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 \, puntos: x_o, x_1, x_2,.......,x_n\, del intervalo de interes [x_o,x_f]\, . Paracualquiera de estos puntos se cumple que:
x_i = {x_0 + ih}, \, 0 \le i \le n \,.
La condición inicial y(x_o) = y_o \,, representa el punto P_o = (x_o, y_o)\, por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como F(x)= y \,.
Ya teniendo el punto P_o\, se puede evaluar la primera derivada de F(x)\, en ese punto; por lo tanto:
F'(x) = {dy\over dx}\bigg\vert\begin{matrix}\\{P_o}\end{matrix} = f(x_o,y_o)\,
Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por P_o\, y de pendiente f(x_o, y_o)\,. Esta recta aproxima F(x)\, en una vecindad de x_o \,. Tómese la recta como reemplazo de F(x) \, y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a x_1\,. Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:

{y_1 - y_o\over x_1 -x_o} = f(x_o,y_o) \,
Se resuelve para y_1\,:
y_1 = y_o+(x_1 - x_o) f (x_o,y_o) = y_o + h f(x_o, y_o) \,

Es evidente que la ordenada y_1 \, calculada de esta manera no es igual a F (x_1)\,, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor y_1 \, sirve para que se aproxime F' (x) \, en el punto P = (x_1,y_1)\, y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximacionessiguiente:
\begin{array}{crl} y_1 = y_o + h f (x_o,y_o)\\ y_2 = y_1 + h f (x_1,y_1)\\ .\\ .\\ .\\ y_{i+1} = y_i + h f (x_i,y_i)\\ .\\ .\\ .\\ y_n = y_{n-1} + h f (x_{n-1},y_{n-1})\\ \end{array} \quad \,

CODIGO EN MATLAP
function[]=euler
y=input('Ingrese la funcion Y´:','s');
a=input('Ingrese el valor inicial de X:');
b=input('Ingrese el valor final de X:');
h=input('Ingrese el valor deH:');
Y=input('Ingrese el primer valor de Y(0):');
disp('*********************************');
g=inline(y);
disp('Los valores de Y1:');
for x=a:h:b
y2=feval(g,x,Y);
y1=Y+(y2*h);
Y=y1;
disp(y1);
plot(x,y1,'*');grid on;hold on;title('CURVA DE LA FUNCION');

end

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