Metodo de fourier

 Introducción

  Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo de este trabajo laSerie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno , las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.

SERIE DE FOURIER

Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonometrica

[pic]

donde w 0=2p /T.

Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representarasí:

[pic]

Ejemplo 1: Deducir la forma [pic]de [pic]y expresar Cn y q n en términos de an t bn.

Se puede expresar así

[pic]

se utiliza la entidad trigonométrica

[pic]

donde

[pic]

[pic][pic]

por consiguiente,

[pic]ó [pic]

También si se hace

[pic]

Se Obtiene

[pic]

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la funcióncomo la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia [pic]se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y [pic]se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos q n se conocencomo amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

Funciones Periódicas

Una función periódica se puede definir como una función para la cual

[pic](1.1)

para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama el período de la función. Mediante repetición de [pic], se obtiene:

[pic]

En la siguiente función se muestra un ejemplo de unafunción periódica

[pic]

Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función [pic]

Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de [pic]se tiene

[pic]

puesto que cos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que

[pic][pic]

donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante elprocedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24p

en general, si la función

[pic]

es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que

w 1T = 2nm

w 2T = 2mn el cociente es

[pic]

es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.

Ejemplo 2: Decir si la función [pic]es una función periódica.

Aquí [pic]y [pic]. Puesto que

[pic]no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga [pic]por consiguiente f(t) no es una función periódica.

Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función [pic]

Si aplicamos la identidad trigonométrica [pic]se tiene

[pic]

Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es p , se concluye que el periodode f(t) es p .

Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

[pic]

Relaciones de Ortogonalidad

Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno

[pic]

Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourierestán basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias.

De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.

Ejemplo Funciones...