Metodo De Gauss Seidel

Método de Gauss-Seidel

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Método de Gauss-Seidel
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método sellama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi. Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuacioneslineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonalno-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Descripción
Es un método iterativo, lo que significa quese parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, ennotación matricial:

donde:

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración donde

:

definimos

y , donde los coeficientes de la matriz N se definen como Considerando elsistema fórmula de iteración del método (*) La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones. conla condición de que si , si .

. Entonces podemos escribir la

Método de Gauss-Seidel

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Convergencia
Teorema: Suponga una matriz ó es una matriz no singular que cumple la condición de .Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.

Para ver los casos enque converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma: (**) (el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la...