Metodo de gauss

MÉTODOS NUMÉRICOS Gauss Seidel
Gauss Jordan

MÉTODOS NUMÉRICOS Gauss Seidel
Gauss Jordan

Método de Gauss – Seidel
y Gauss –Jordan

Introducción:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (lasecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales,llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismosistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:
Método de Gauss – Seidel:

Seidel
Seidel
Gauss
Gauss
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel.

El método de Gauss-Seidelhace parte de los métodos llamados indirectos o iterativos. En ellos se comienza con x0 = (x1; x2;……; xn), una aproximación inicial de la solución. A partir de x0 se construye una nueva aproximación de la solución, x1 = (x1; x2;…..; xn). A partir de x1 se construye x2 (aquí el superíndice indica la iteración y no indica una potencia). Así sucesivamente se construye una sucesión de vectores (xk), conel objetivo, no siempre garantizado, de que
limk→∞xk=x*

Generalmente los métodos indirectos son una buena opción cuando la matriz es muy grande y dispersa o rala (sparse), es decir, cuando el número de elementos no nulos es pequeño comparado con n2, número total de elementos de A. En estos casos se debe utilizar una estructura de datos adecuada que permita almacenar únicamente los elementosno nulos.

Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas que se usan en los métodos anteriores para obtener raíces. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a partir del cual, mediante una técnica sistemática se obtiene una mejor aproximación a la raíz. La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores deredondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada.

Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con ungran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente.

Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.
Algoritmo

-Se debe despejar da cada ecuación la variable sobre la diagonal principal.
-Dar un valor inicial a las incógnitas (generalmente se establecen ceros).
-Sustituir los valoresiniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor para la primera incógnita.
-Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.
-Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la...