Metodo de Induccion Matematica

Método de Inducción Matemática
Introducción
Existen proposiciones generales y particulares.
Son proposiciones generales, por ejemplo, las siguientes.
Todos los ciudadanos de la URSS tienen derecho a la enseñanza.
En todo paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.
Todos los números que terminan en cero son divisibles por 5.
Las proposiciones particularescorrespondientes son:
Petrov tiene derecho a la enseñanza.
Las diagonales del paralelogramo ABCD se cortan en el punto medio de ambas.
140 es divisible por 5
El paso de las proposiciones generales a las particulares se denomina deducción. Veamos un ejemplo.
Todos los ciudadanos de la URSS tienen derecho a la enseñanza. (1)
Petrov es ciudadano de la URSS. (2)
Petrov tiene derecho a la enseñanza.(3)
La proposición particular (3) ha sido deducida de la proposición general (1) mediante la proposición (2).
El paso de las proposiciones particulares a las generales se denomina inducción. La inducción puede llevar a conclusiones justas y a conclusiones falsas. Aclaremos esto con dos ejemplos.
140 es divisible por 5. (1)
Todos los números que terminan en cero son divisibles por 5. (2)De la proposición particular (1) hemos obtenido la proposición general (2) que es justa.
140 es divisible por 5. (1)
Todos los números de tres dígitos son divisibles por 5. (2)
De la proposición particular (1) hemos obtenido la proposición general (2) que es falsa.
¿Cómo debe emplearse la inducción en las matemáticas para llegar siempre a conclusiones justas? La respuesta viene en estelibro.
1. Veamos primero dos ejemplos de inducción inadmisible en las Matemáticas
Ejemplo 1. Sea
.
Es fácil ver que
,
,
,
,
Sobre la base de los resultados obtenidos afirmamos que para todo numero natural n se tiene
.
Ejemplo 2. Consideremos el trinomio x2+x+41 estudiado ya por L. Euler. Tomando el cero en lugar de x, obtenemos el numero primo 41. Tomando ahora en este mismo trinomio eluno en lugar de x, obtenemos de nuevo un numero primo, el 43. Tomando el trinomio sucesivamente 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 en lugar de x, obtenemos cada vez un numero primo (47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131 y 151, respectivamente). De aquí inferimos que al sustituir x en el trinomio por un número entero no negativo cualquiera siempre se obtiene un número primo como resultado.
¿Por qué soninadmisibles en las Matemáticas los razonamientos empleados en estos ejemplos? ¿De que adolecen los razonamientos realizados?
Ambas veces hemos enunciado una proposición general para todo n (para todo x, en el segundo ejemplo) basándonos solo en que esta proposición ha resultado justa para algunos valores de n (o de x)
La inducción se emplea ampliamente en las Matemáticas, pero hay que hacerlo conentendimiento; la ligereza puede conducir a conclusiones falsas.
Así, aunque en el ejemplo 1 la proposición general enunciada resulta casualmente justa (como se demuestra en el ejemplo 4), la proposición general del ejemplo 2 es falsa.
Efectivamente, analizando con mayor atención el trinomio x2+x+41, nos persuadimos de que es igual a un numero primo para x=0, 1, 2,…, 39, pero que para x=40 estetrinomio vale 41, o sea, un numero compuesto.
2. En el ejemplo 2 nos hemos encontrado con una proposición que, siendo válida en 40 casos particulares, no lo es en general.
Daremos otros ejemplos de proposiciones justas en varios casos particulares, pero no en general.
Ejemplo 3. El binomio xn-1, donde n es un número natural, tiene gran interés para los matemáticos. Bastará decir que esta ligadoestrechamente al problema geométrico sobre la división de la circunferencia en n partes iguales. No tiene nada de extraño, por consiguiente, que este binomio haya sido estudiado profundamente. En particular, los matemáticos se han interesado por la descomposición de este binomio en coeficientes de factores enteros.
Analizando las descomposiciones correspondientes a varios particulares de n, los...