Metodo de jacobi

MÉTODO DE JACOBI
Hasta ahora los métodos directos e indirectos han tenido problemas con los redondeos y aproximaciones a la solución real. Los métodos iterativos representan una alternativa potentepara solucionar esta dificultad, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad deiteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución.
El Método deJacobi es uno de los métodos iterativos más conocidos.
Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, lasegunda para x2 y la tercera para x3, para obtener:

En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi para encontrar un valor k de unavariable x es el siguiente:

El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración sesustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:

En la siguiente sección se ilustra cómo la convergencia de éste método está dada por:


Convergencia delmétodo:
Para determinar si el método de Jacobi converge hacia una solución. Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia (Nota: las siguientes van en un órden de modo que si se cumple una de lascondiciones, comenzando por la primera por supuesto, la evaluación de las siguientes no es necesario realizarlas):
1. La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas),es decir, para todo i desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A:

Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila i debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila i....