Metodo de jacobi

Método de Jacobi
   Un método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal Ax = b comienza con una aproximación inicial x(0)a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k) que convergea x. Los métodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema Ax = b en otro equivalente de la forma x = Tx + c para alguna matriz fija T y un vector c.
    Luego de seleccionar elvector inicial x(0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando:
x(k) = Tx(k-1) + c
para cada k = 1,2,3,....
    El método se escribe en la forma x(k) = Tx(k-1) + cseparando A en sus partes diagonal D y fuera de la diagonal. Sea D la matriz diagonal cuya diagonal es la misma que A, sea -L la parte estrictamente triangular inferior de la parte A y sea -U la parteestrictamente triangular superior de A.
   Con esta notacion A = D-L-U, entonces transformamos la ecuación Ax = b, o (D-L-U)x = b, en
Dx = (L+U)x + b
y, si D-1 existe, es decir, si ai,i es distintode cero para cada i, entonces
x = D-1(L+U)x + D-1b.
    Esto da origen a la forma matricial del método iterativo de Jacobi:
x(k) = D-1(L+U)x(k-1) + D-1b, k = 1,2,...
   Al introducir la notaciónTj = D-1(L+U) y cj, esta técnica tiene la forma
x(k) = Tx(k-1) + c
Es de mencionar el siguiente teorema: " Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces con cualquier eleccion de la aproximacióninicial, el método de Jacobi da una sucesion que converge a la solución única de Ax = b"

Metodo de descomposición de LU

El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuacioneslineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).
Esto es:
[pic]
Donde:
L - Matriz triangular inferiorU - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
[pic]= [pic] [pic]
Si efectuamos la multiplicación de...