metodo de jacobi

MÉTODO DE JACOBI
El método de Jacobi se denomina de correlaciones simultaneas ya que ninguna componente de se usa hasta que todas las componentes de han sido calculadas.

El método de Jacobi esun método iterativo con el cual se resuelve el sistema lineal Ax = b. Comienza con una aproximación inicial x(0)a la solución x y genera una sucesión de vectores x(k) que converge a x.

Losmétodos iterativos traen consigo un proceso que convierte el sistema
Ax = b
en otro equivalente de la forma
x = Tx + c
para alguna matriz fija T y un vector c.

Luego de seleccionar el vector inicialx(0) la sucesión de los vectores de la solución aproximada se genera calculando:
x(k) = Tx(k-1) + c
para cada k = 1,2,3,....

El método se escribe en la forma x(k) = Tx(k-1) + c separando A ensus partes diagonal D y fuera de la diagonal.

Sea D la matriz diagonal cuya diagonal es la misma que A, sea -L la parte estrictamente triangular inferior de la parte A y sea -U la parteestrictamente triangular superior de A.

Con esta notación A = D-L-U, entonces transformamos la ecuación Ax = b, o (D-L-U)x = b, en Dx = (L+U)x + b y, si D-1 existe, es decir, si ai,i es distinto de cero paracada i, entonces x = D-1(L+U)x + D-1b.

Esto da origen a la forma matricial del método iterativo de Jacobi:
x(k) = D-1(L+U)x(k-1) + D-1b, k = 1,2,...

Al introducir la notación Tj = D-1(L+U) ycj, esta técnica tiene la forma
x(k) = Tx(k-1) + c


Criterio de convergencia.
Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces con cualquier elección de la aproximación inicial, el métodode Jacobi da una sucesión que converge a la solución única de Ax = b

Matriz estrictamente dominante.
Una matriz es estrictamente dominante, cuando es estrictamente dominante por filas o/y porcolumnas. Lo es por filas cuando para todas las filas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa fila es estrictamente mayor que la suma de los valores absolutos del resto de elementos de...