Metodo de jacobi

3 Método de Jacobi

El método de Jacobi se basa en escribir el sistema de ecuaciones en la forma:
| [pic] |(66) |

Partimos de una aproximación inicial para las soluciones al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación (66). De esta forma, se genera una nuevaaproximación a la solución del sistema, que en determinadas condiciones, es mejor que la aproximación inicial. Esta nueva aproximación se puede sustituir de nuevo en la parte derecha de la ecuación (66) y así sucesivamente hasta obtener la convergencia.

Método Iterativo General

Un método iterativo consta de los siguientes pasos.

inicia con una solución aproximada (Semilla),

2.ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación partiendo de la aproximación semilla. La fórmula que permite construir la aproximación usando otra se conoce como ecuación de recurrencia.

3. se repite el paso anterior pero usando como semilla la aproximación obtenida.

El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mas simpley se aplica

sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.

1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx (1)

donde x es el vector de incógnitas.

2. Se toma una aproximación para lassoluciones y a esta se le designa por xo

3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

xi+1 = c + Bxi (2)

Ejemplo 3.1

Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para resolver el sistema:

_ 5 x + 2 y = 1

x − 4 y = 0

Solución

Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente.

x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y

y = 0.00 + 0.25x + 0.00 y

Escrito en la notación vectorial quedaria:

Aplicamos la primera iteración partiendo de x0 = 1.00 y y0 = 2.00:

x1 = 0.20 + 0.00 (1.00) − 0.40 (2.00) = −0.60

y1 = 0.00 + 0.25 (1.00) + 0.00 (2.00) = 0.25

Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.60 y y1 = 0.25:

x2 = 0.20 + 0.00 (−0.60) − 0.40 (0.25) = 0.10

y2 = 0.00 + 0.25 (−0.60) + 0.00 (0.25) = −0.15Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x2 = 0.10 y y1 = −0.15:

x3 = 0.20 + 0.00 (0.10) − 0.40 (−0.15) = 0.26

y3 = 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (−0.15) = 0.025

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x3 = 0.26 y y3 = 0.025:

x4 = 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.025) = 0.190

y4 = 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025) = 0.065

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x4 = 0.190 yy4 = 0.065:

x5 = 0.20 + 0.00 (0.19) − 0.40 (0.065) = 0.174

y5 = 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065) = 0.0475

Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:

x6 = 0.20 + 0.00 (0.174) − 0.40 (0.0475) = 0.181

y6 = 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.0475) = 0.0435

Si uno dispone de una hoja de calculo como EXCEL es fácil realizar los cálculos anteriores:

ixi yi xi+1 yi+1 Di

0 1.000 2.000 -0.600 0.250 1.750

1 -0.600 0.250 0.100 -0.150 0.700

2 0.100 -0.150 0.260 0.025 0.175

3 0.260 0.025 0.190 0.065 0.070

4 0.190 0.065 0.174 0.047 0.017

5 0.174 0.047 0.181 0.043 0.007

6 0.181 0.043 0.182 0.045 0.001

donde

Di = m´ax (|xi − xi+1|, |yi − yi+1|)

Este Di es utilizado como criterio de paro en las iteraciones:Cuando Di es menos que cierto valor dado

(digamos 0.001) uno ya no realiza la siguiente iteración.

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

[pic]

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación...