Metodo de la secante

Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005. UTP. ISSN 0122-1701

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EL METODO DE NEWTON-RAPHSON - LA ALTERNATIVA DEL INGENIERO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
RESUMEN Este artículo describe una metodología en el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de n ecuaciones no lineales en n variables. Al final se presentan tres ejemplos que ilustran la aplicación delmétodo. PALABRAS CLAVES: Newton-Raphson, ecuaciones no lineales ABSTRACT This article describes one methodology in the method of Newton-Raphson to resolve systems of n not lineal equations in n variables. In the end three examples appear that illustrate the application of method. KEYWORDS: Newton-Raphson, not lineal equations. JUÁN EDUARDO BRAVO BOLÍVAR Lic. En Física y Matemáticas ProfesorAuxiliar Universidad Tecnológica Pereira jubravo@utp.edu.co ALBERTO J. BOTERO ARANGO Ingeniero Industrial U.T.P. Profesor Transitorio T.C. Facultad Ingeniería Industrial MARCELA BOTERO ARBELÁEZ Ingeniera Electricista U.T.P. Instrumentación Física, Ms.C Profesor Transitorio T.C. Facultad de Ciencias Básicas 1. INTRODUCCIÓN La mayoría de los textos de análisis numérico en el estudio de sistemas deecuaciones no lineales sólo hace un tratamiento para dos variables y se evita el caso de más de dos variables para la deducción del método. Presentamos una alternativa metodológica y pedagógica para hacer menos difícil la comprensión de éste. La metodología es un resultado de la experiencia docente. 2. EL MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON PARA UNA ECUACIÓN NO LINEAL EN UNA VARIABLE Sea f:[a,b]→ℜ, f ∈ C²[a,b] yxk una estimación del cero de f en [a,b]. 2.1 Deducción del Método Considere: ∆yk=f’(xk)⋅∆xk, con ∆xk apropiado. yk=f(xk) y ademas, ∆yk=f(xk+1)-f(xk). Si xk es una aproximación de la solución de f(x)=0 en [a,b] y xk+1 es mejor aproximación, f(xk+1)≈0, entonces: con ∆xk=xk+1-xk. 2.2 Análisis de error en el método El método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente [1]. Esto es, el error esproporcional al cuadrado del error anterior, dado por
e k +1 = − f ' ' (xr ) 2 e k f ' (xr )

de

con xr entre xk y xk+1. 2.3 Desventajas del método Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por sulenta convergencia. 3. EL MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON PARA SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Sea F:Ω⊂ℜn→ℜn un campo vectorial. Y las coordenadas de F, fi: Ω⊂ℜn→ℜ con i=1,2, …,n campos escalares. Además, x=(x1, x2, …,xn) t. 3.1 Deducción del método La diferencial total para un campo escalar fi esta dado por:

∆yk=-f(xk) y -f(xk)=f’(xk)⋅∆xk
así se obtiene

∆xk = -[f’(xk)]-1⋅f(xk)
Fecha derecepción: 27 Enero de 2005 Fecha de aceptación: 15 Abril de 2005

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df i (x ) = ∂f (x ) ∂f (x ) ∂f (x ) dx1 + dx 2 + ... + dx n ∂x1 ∂x 2 ∂x n

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en otra forma,
⎛ ∂f (x ) df i (x ) = ⎜ ⎜ ∂x ⎝ 1 ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎞ ⎜ x2 ⎟ ∂f (x ) ∂f (x ) ⎟⋅ ... ∂x 2 ∂x n ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ df i (x ) = ∇f i (x ) ⋅ dx

⎛ ∇f 1 x ( k ) ⎜ (k ) ( k ) = ⎜ ∇f 2 x Jx ⎜ ... ⎜ ⎜ ∇f x ( k ) ⎝ n

( )

( )⎞ ⎟ ( )⎟ ⎟ ( )⎟ ⎠
⎟

En donde J es la matriz jacobiana (un arreglo de gradientes de los campos escalares fi, con i=1,2, …,n)del campo vectorial F. Además, podemos hacer F(x(k+1))≈0 por ser x(k+1) la mejor estimación del cero de F. Entonces,
∆F x (k ) = − F x (k )

Podemos aproximar dfi(x(k)) con ∆x(k) apropiado, con lo anterior obtenemos:∆fi(x(k))=∇fi(x(k))⋅∆x(k) Si se tiene un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, f1(x)=0 f2(x)=0 … fn(x)=0 este sistema se puede interpretar como el cero de un campo vectorial F, ⎛ f1 (x ) ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ f ( x )⎟ ⎜ 0 ⎟ F (x ) = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 0 ... ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ f ( x )⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ ⎠ Para resolver el problema, considere x(k) y x(k+1) dos estimaciones de la solución de F(x)=0. En donde x(k+1) es la...