Metodo de la secante

Método de la Secante.

Introducción.
En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en elpunto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximarmejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.
Objetivo.

Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenosfísicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja.

El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada.

Resumen.

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar aresultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regula falsi salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto.
Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de lasecante.
Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.
Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.Representación grafica del método de la secante

Una forma de evitar el cálculo de f'(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta).

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtienela expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

Representación geométrica de las iteraciones al aplicar el método de la secante.

La sucesión queda expresada en términos generales como:

Justificación.

Gracias a este método se puede eliminar el problema de calcular la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicosen la vida real, y cuya derivada es muy compleja.

Con el método de la secante no se requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, es decir, evita el cálculo de la derivada.

En este método no se requiere de la segunda derivada.

En muchos casos el valor de la raíz no puede ser calculado analíticamente y hay que recurrir a un método numérico. Existen variasformas en este método por ejemplo el Método Iterativo que es el más robusto.
En este método no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos. Aquí solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra de f(Xn).

El método de la secante procede independientemente de los signos de la función, es decir, no se tiene en cuenta el signo de la función para...