Metodo de la serie de taylor

Universidad Nacional de Asunción

Facultad Politécnica

Ingeniería en Informática

Métodos Numéricos

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales: “Método de la Serie de Taylor”

Profesor: Ing. Antonio de la Paz Franco Martínez.

Alumnos: Eliana Ferreira.
Leandro Luque.
Brenda Quiñónez.

6to Semestre

San Lorenzo, Octubre de 2011

Introducción

Una ecuación diferenciales aquella que contiene una variable dependiente y también las derivadas de ésta en función a una o más variables libres o independientes. En el presente trabajo se considerará sólo el caso de tener una variable independiente, llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.
Para hallar la solución de alguna ecuación diferencial, por lo general, se utilizan técnicas analíticas como el método de lasExactas, Coeficientes Indeterminados, etc.; pero cuando no se pueden aplicar estas técnicas o resultaría muy complicado hacerlo se recurre a los métodos numéricos. Es aquí donde entra el Método de la Serie de Taylor
En general, la serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Pero,para hacer esta aproximación no se pueden considerar todos los términos de la serie, ya que son infinitos, es por esto que sólo se toman unos cuantos, lo cual conlleva a un error conocido como término residual, el cual representa todos los términos de la serie que no han sido considerados. Elegir el número de términos a considerar queda a criterio de quien aplica el método, pero hay que considerarque a medida que se tomen más términos, mejor será la aproximación y, por ende, menor será el error.
En el presente trabajo se plantea este método, el de la Serie de Taylor, presentando, en primer lugar, la definición del mismo, así como la definición del Método de Paso Único. Luego, teniendo ya claros estos conceptos, se presenta el método en sí, así como su interpretación gráfica y ladescripción del error del mismo.

Índice Temático

Contenido | Páginas |
Serie de Taylor: teorema de Taylor | |
Método de Paso Único: definición | |
Método de la Serie de Taylor para la solución de ecuaciones Diferenciales | |
Definición | |
Algoritmo | |
Interpretación Gráfica y Error | |
Ejercicios Resueltos | |
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Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales medianteel Método de la Serie de Taylor

Serie de Taylor
Definición de la Serie de Taylor:

Teorema de Taylor: si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en el intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función de x está dado por:

fx=fa+f'a(x-a)+f''(a)2!x-a2+f'''(a)3!x-a3+…+fnan!x-an+Rn

donde el residuo Rn es definido como:

Rn=fn+1ξn+1!x-an+1

El términoresidual se incluye para considerar todos los términos desde n+1 hasta el infinito.
Esta ecuación es llamada la serie de Taylor o fórmula de Taylor. Si el residuo es omitido, el lado derecho de la ecuación de fx es la aproximación del polinomio de Taylor para fx.

Método de Paso Único
Definición: dada una ecuación diferencial de primer orden

dyxdx=y'x=fyx, x

siendo yn el valor de la funciónobtenida, con yn≠yxn, donde xn=x0+kh y h el paso. Entonces, se dice que un método es de paso único si la determinación de yn+1 sólo involucra un único valor de yn.
Dicho de otra forma, un método de paso único proporciona una función G de forma que

yn+1=yn+hGxn, yn,h

El método de la Serie de Taylor es un método de paso único.

Método de la Serie de Taylor para la Solución de EcuacionesDiferenciales
Si tenemos la ecuación diferencial

y'x=fyx, x

podemos expresar yxn+h en función de yxn mediante la Serie de Taylor,

yxn+h=yxn+hy'xn+h22!y''xn+h33!y'''xn+…+hnn!ynxn+hn+1n+1!yn+1ξ

siendo h=x-xn.
Reteniendo los n+1 primeros términos de la Serie de Taylor obtenemos un método de un paso de orden n, es decir, obtenemos yxn+h a partir de yxn con un error de truncado que depende...