Metodo de los multiplicadores de lagrange

ü 4.2. Multiplicadores de Lagrange: Algunos ejemplos y condiciones de uso
Se presentan ahora una colección de ejemplos en los que se varía el número de variables y condiciones para usar el método de los multiplicadores de Lagrange. También se ponen otros en los cuales dicho método es ineficaz ya sea por no verificarse las condiciones de aplicación o por no poder resolver el sistema de ecuacionesque proporciona los puntos críticos. Ejemplo 4.2.1.La temperatura de una placa en un punto cualquiera (x , y ) viene dada por la función T (x,y) = 25 + 4 x2 - 4 x y + y2 . Una alarma térmica, situada sobre los puntos de la circunferencia x2 + y2 = 25, se dispara a temperaturas superiores a 180 grados o inferiores a 20 grados. ¿Se disparará la alarma?

Solución.
Se utilizará el método de losmultiplicadores de Lagrange. Se definen la función y la condición:
T@x_, y_D := 25 + 4 x2 − 4 x y + y2 condicion = x2 + y2 − 25;

En este ejemplo, se vuelve a dar una función de 2 variables y una única condición. La función F(x ,y) es:
F@x_, y_D := T@x, yD + λ condicion

Las derivadas parciales son:
Fx = ∂x F@x, yD 8x−4y+2xλ Fy = ∂y F@x, yD −4 x + 2 y + 2 y λ

Los puntos de lacircunferencia en los que T(x,y) alcanza valores extremos son las soluciones del sistema:
ecuaciones = 8Fx == 0, Fy == 0, condicion == 0, :λ → 0, x → 5 ,y→− 5 >,

5 , y → −2

5 ,y→2

5 >>

Se debe, por tanto, alcanzar el mínimo y el máximo necesariamente en alguno de los siguientes puntos:
puntos = ::−2 5 , 5 >, :2 5 ,− 5 >, :− 5 , −2 5 >, : 5 ,2 5 >>;

Basta evaluar en ellos la función paraencontrar el máximo y el mínimo de T(x,y).
var = :TB−2 5 , 5 F, TB2 5 ,− 5 F, TB− 5 , −2 5 F, TB 5 ,2 5 F>

8150, 150, 25, 25<

El máximo es:

2

Untitled-7

Max@varD 150

El mínimo es:
Min@varD 25

Por tanto el mínimo valor es 25 grados y el máximo 150 grados, luego la alarma no se disparará, pues las temperaturas están comprendidas entre 25 y 150 grados, que es un rango detemperaturas permitido. Ejemplo 4.2.2.Hallar la distancia mínima entre la elipse x2 + 2 y2 = 6 y la recta x + y = 5.

Solución.
Se trata de encontrar los puntos de la elipse y de la recta más próximos entre sí. Se denota por (x,y) a un punto genérico de la elipse y (a,b) un punto genérico de la recta. Así, hay que minimizar la expresión: Hx - aL2 + Hy - bL2 Pero como la raíz cuadrada es creciente, lafunción a minimizar puede ser: Hx - aL2 + Hy - bL2 Se representan gráficamente la elipse y la recta para dar una idea geométrica del problema a resolver:
Clear@a, f, bD 1 2 I6 − x2 M , :x, − 1 2 6 >, DisplayFunction → IdentityF;

eli1 = PlotB

6 ,

eli2 = PlotB−

I6 − x2 M , :x, −

6 ,

6 >, DisplayFunction → IdentityF;

rec = Plot@5 − x, 8x, −10, 10,

2 N, y → 2 N, y →

Se eliminanlos valores complejos de las soluciones, y el valor mínimo habría que buscarlo hallando la distancia entre los siguientes puntos: a.) El punto ( 2, 1) de la elipse, con el punto ( 3, 2) de la recta b.) El punto (- 2, - 1) de la elipse, con el punto (2, 3) de la recta que son los puntos candidatos a extremos que hemos encontrado. Basta evaluar en ellos la función para encontrar el mínimo:variable = 8f@2, 1, 3, 2D, f@−2, −1, 2, 3D< 82, 32<

Luego el mínimo valor, que es el dato pedido en el enunciado, es 2 ( ya que hemos trabajado con la función al cuadrado) que se alcanza entre el punto (2,1) de la elipse y el punto (3,2) de la recta. NOTA: Hay que tener en cuenta que la recta no es un compacto. Sin embargo, la naturaleza del problema permite asegurar que el resultado dado es unmínimo. La máxima distancia entre la recta y la elipse sería infinita. Mathematica resuelve el ejercicio a ciegas, sin tener en cuenta este hecho. Una posible solución, a la vista de la gráfica, para argumentar sobre el valor mínimo es trabajar para valores situados en el primer cuadrante. Entonces los puntos de la recta tienen su abscisa entre 0 y 5, siendo entonces compacto dicho conjunto.

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