Metodo de netwon raphson
Páginas: 3 (588 palabras)
Publicado: 9 de abril de 2010
Si x2 se aproxima a x1 en las cifras decimales o tolerancia deseada, entonces tomar x2 como el valor de la raíz. Si no, volver a aplicar los pasos 3, 4 y 5 usando ahora el valor de x2 y encontraruna nueva aproximación, hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia deseada. CONVERGENCIA DEL MÉTODO
El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sinembargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple,...), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constanteasintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.
Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitkeno el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:
{draw:frame}Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) =f(x)/f'(x), resultando:
{draw:frame}
Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable.
Por otro lado, la convergencia delmétodo se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo,está sujeto a las particularidades de estos métodos.
Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergenciaglobal como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el...
El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sinembargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple,...), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constanteasintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.
Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitkeno el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:
{draw:frame}Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) =f(x)/f'(x), resultando:
{draw:frame}
Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable.
Por otro lado, la convergencia delmétodo se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo,está sujeto a las particularidades de estos métodos.
Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergenciaglobal como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección. Así, es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el...
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