Metodo de newton

Laboratorio de Calculo

Grupo 04.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito.
Calculo.
Bogotá.
2011.
INTRODUCCION.

El presente trabajo tiene como objetivo determinar la importancia que tiene el método de Newton para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real.
Posteriormente se desarrollaran varios problemas con relación a lo mencionado con el fin deencontrar expresiones, aproximaciones y gráficos.
Finalmente los problemas desarrollados permitirán encontrar los diferentes matices que tienen en la solución de ellos (los problemas) con el método de Newton.

OBJETIVOS.
Objetivo General:
* Dar la solución a los problemas por medio del método de Newton.
Objetivos Específicos:
* Aproximar diferentes raíces de una ecuación para el hallazgode graficas.
* Escribir expresiones para x raíces.
* Encontrar una aproximación de una raíz de acuerdo a diferentes números dados.

MARCO TEORICO.
Método de Newton: El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a laraíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverjaaumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Raíz: En matemática, seconoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f (x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:
.

Método de Newton.

1.
a) Dada una aproximación inicial x1 para una raíz de la ecuación fx=0, explique geométricamente con un diagrama como se obtiene la segunda aproximación x2 en el método de Newton.
y=f´ x1x-x1+f(x1)
y=0 Se despeja X
x= x1- f(x1)f´(x1)

b) Escriba una expresión para x2 en términos de x1 , fx1, y f´(x1).
x2= x1- f(x1)f´(x1)
c) Escriba una expresión para xn+1 en términos de xn , fxn, y f´xn.
y=f´xnxn+1-xn+ f(xn)
0=f´xnx-xn+ fxn
x= xn-f(xn)f´(xn)
xn+1=xn- f(xn)f´(xn)
d) En cuales circunstancias es probable que el método de Newton falle o funcione conmucha lentitud.
El método de newton-Raphson falla, porque o cuando las iteraciones divergen, es decir que los valores de las x cada vez se alejan más y más de la raíz de la función. Este método también falla cuando existe un punto crítico en f, esto quiere decir que la pendiente o la tangente tienden o se convierte en cero, en estos casos falla debido ya que al ser un método con derivada en eldenominador, eso provocaría divisiones por cero cunado la solución se aproxima a la raíz.
El método de newton converge lentamente en al tratar raíces simples debido a las propias naturalezas de la función, más que todo se presenta debido a que la tangente o la pendiente es próxima a cero.

2. Use el método de Newton con la aproximación inicia dada, para hallar la raíz de la ecuación dada.x3+x+1=0, x1= -1
Se obtiene x mediante la fórmula:
xn+1=xn- f(xn)f´(xn)
Para seguir se calcula la derivada de f(x)
f´x=3x2+1
1 Iteración:
Reemplazar con la formula:
x2=(-1)- (-1)3-1+13(-1)2+1
x2=-1- -1-1 +13.1+1 = -1--14 = -1+0.25 = -0,75
Ahora se prueba el valor en x:
f-0.75=(-0.75)3- 0.75+1
f-0.75= -0.171875

2 Iteración:
Se determina x3...