Metodo de newton

Pr´ctica 5 a

M´todo de Newton e
5.1. Introducci´n o

En esta pr´ctica damos al alumno un gui´n y una relaci´n de referencias para que con su trabajo a o o personal, que estimamos de 6 horas, realice un peque˜o estudio e investigaci´n que le permita n o dominar los fundamentos b´sicos del M´todo de Newton para el c´lculo de ceros de funciones a e a derivables. Es muy recomendable que elalumno estudie y haga los ejemplos de aplicaci´n del m´todo que o e se dan en esta pr´ctica porque ser´n objeto de examen en el control asociado a esta pr´ctica. Con a a a la asimilaci´n correcta de los contenidos escritos que aqu´ se exponen queda garantizada, al menos, o ı la superaci´n del 80 % de los contenidos del control. o

5.2.

Enunciado del problema

Nos planteamos la resoluci´n de laecuaci´n o o f (x) = 0; x ∈ [a, b]

de la que, por simplicidad, suponemos que f : [a, b] → R es una funci´n derivable tres veces. o

5.3.

Funcionamiento del m´todo de Newton e

El m´todo de Newton est´ basado en el uso de una l´ e a ınea tangente como aproximaci´n de f (x) o cerca de los puntos donde el valor de la funci´n es cero: o 1. Se escoge una primera aproximaci´n x0 ∈ [a, b] de lasoluci´n a la ecuaci´n. o o o 2. Se calcula la siguiente aproximaci´n x1 utilizando la f´rmula de recurrencia: o o f (xn ) f (xn )

xn+1 = xn −

(5.1)

3. Si |xn − xn+1 | es menor que nuestra tolerancia al error; entonces xn+1 es una soluci´n de la o ecuaci´n. De otra forma se pasar´ de nuevo al punto anterior. o ıa 41

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´ ´ PRACTICA 5. METODO DE NEWTON

5.4.

Interpretaci´ngeom´trica del m´todo o e e

En lugar de resolver la ecuaci´n f (x) = 0 resolvemos la ecuaci´n tx0 (x) = 0 para tx0 la recta o o tangente a f en una aproximaci´n x0 . Si x1 es la soluci´n de la ecuaci´n tx0 = 0 continuamos con o o o el proceso: de la soluci´n de tx1 = 0 obtenemos x2 y as´ sucesivamente. En definitiva, obtenemos la o ı soluci´n de f (x) = 0 como el l´ o ımite de la sucesi´n {xn }: ox0

x1

x2

Figura 5.1: Interpretaci´n geom´trica del M´todo de Newton o e e Para obtener x1 a partir de x0 hemos de resolver la ecuaci´n f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) = 0. Esta o f (x0 ) ecuaci´n se resuelve f´cilmente teniendo x1 = x0 − o a lo que justifica la f´rmula (5.1) anterior. o f (x0 )

5.5.

El primer ejemplo de Newton

Figura 5.2: P´gina de De Analysi donde Newton expone sum´todo. a e El primer ejemplo de Newton aparece en su libro ‘De Analysi’. Aqu´ estudia la ecuaci´n y 3 − ı, o 2y − 5 = 0. Comprueba que la soluci´n est´ cerca de y = 2. Luego sustituye y = 2 + p, para o a

´ ´ 5.6. LA CONVERGENCIA DEL METODO ES CUADRATICA

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obtener p3 + 6p2 + 10p − 1 = 0. Como p es peque˜o, elimina p3 + 6p2 de la ecuaci´n para llegar n o a 10p − 1 = 0, de dondeaproximadamente es p = 0.1. Por tanto ser´ y = 2.1, esta es la primera ıa aproximaci´n de la ra´ Ahora toma p = 0.1 + q y sustituye p en la ecuaci´n anterior para llegar a o ız. o 3 + 6.3q 2 + 11.23q + 0.061 = 0. Otra vez desecha los t´rminos q 3 + 6.3q 2 para de 11.23q + 0.061 = 0 q e obtener aproximadamente q = −0.0054, de donde ahora y = 2.0946, y as´ sucesivamente. ı ¿Puedes reconocer el m´todo deNewton tal como ahora lo explicamos de estos c´lculos? e a Esta secci´n est´ sacada de la p´gina web del Prof. Bartolom´ Barcel´: http://www.uam.es/ o a a e o personal_pdi/ciencias/barcelo/cnumerico/recursos/newton.html

5.6.

La convergencia del m´todo es cuadr´tica e a

Si f (x) = 0 posee una soluci´n en [a, b] y f (x) = 0 en [a, b], entonces, la convergencia del o m´todo de Newton escuadr´tica. Con precisi´n se verifica: e a o Teorema 5.1 Sea f : [a, b] → R una funci´n tres veces derivable de la que sabemos que existe una o soluci´n r de la ecuaci´n f (x) = 0 y tal que su primera derivada no es cero en ning´n punto de o o u [a, b]. Si el error cometido al aproximar r por x0 es δ; entonces, el error cometido al aproximar r M 2 δ para M el m´ximo de |f | en [a, b] y m el m´ a ınimo de...