Metodo de pasos multiples
Páginas: 80 (19891 palabras)
Publicado: 5 de diciembre de 2010
SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
Roland England Marzo 2003.
1
Contents
1 Introducci´n o 1.1 Repaso de las propiedades de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sus soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Soluciones anal´ ıticas y num´ricas. . . . . . . . . . . . e 1.1.2 Sistemas de ecuaciones, y ecuaciones de orden mayor que uno. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Soluciones generales y condiciones iniciales. . . . . . . 1.1.4 Singularidades y ecuaciones impl´ ıcitas. . . . . . . . . . 1.1.5 Teorema de existencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuaciones lineales, linealizaci´n de ecuaciones no-lineales, y o estabilidad del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Soluci´n general deecuaciones lineales. . . . . . . . . o 1.2.2 Aplicaci´n a la primera variaci´n de ecuaciones noo o lineales, y estabilidad del problema. . . . . . . . . . . 4 4 4 5 6 7 9 10 10 12
2 CONCEPTOS BASICOS PARA PROBLEMAS CON CONDICIONES INICIALES. 14 2.1 M´todo de Euler con an´lisis del error. . . . . . . . . . . . . 14 e a 2.1.1 M´todo de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e 2.1.2Pruebas num´ricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 e 2.1.3 Una cota para el error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Comprobaci´n num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o e 2.1.5 Estimaci´n del error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 3 ESTABILIDAD Y METODOS IMPLICITOS 21 3.1 Estabilidad del problema con condiciones iniciales . . . . . . 21 3.1.1 Problemas establescon cota grande para el error. . . . 21 e 3.1.2 Ecuaciones Diferenciales ”stiff”, y el m´todo de Euler. 22
2
3.1.3
Un m´todo con regi´n de estabilidad absoluta m´s e o a grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 28 28 28 29 29 34
4 METODOS CON UN SOLO PASO 4.1 Clasificaci´n de m´todos . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 4.1.1 M´todos con un solo paso y conpasos m´ltiples. e u 4.1.2 El m´todo de la serie de Taylor. . . . . . . . . . e 4.1.3 M´todos de extrapolaci´n. . . . . . . . . . . . . . e o 4.1.4 M´todos del tipo Runge-Kutta. . . . . . . . . . . e
. . . . .
. . . . .
. . . . .
5 METODOS DE RUNGE-KUTTA Y CONTROL DEL ERROR. 5.1 M´todos del tipo Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . e o o 5.1.1 Forma aut´noma, y notaci´n. . . . .. . . . . . . . . . 5.1.2 M´todo del punto medio por extrapolaci´n. . . . . . . e o 5.1.3 M´todos del tipo Runge-Kutta de orden dos. . . . . . e 5.1.4 La clase de m´todos de orden cuatro. . . . . . . . . . e 5.1.5 Suposiciones que permiten el ajuste pr´ctico del paso. a 5.1.6 Estimaci´n del error de truncamiento local. . . . . . . o
35 35 35 36 36 37 41 42
6 METODOS CON PASOS MULTIPLES 456.1 Introducci´n a los m´todos con pasos m´ ltiples. . . . . . . . . 45 o e u 6.1.1 Los m´todos de Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 e 6.1.2 Estabilidad de los m´todos de pasos m´ltiples. . . . . 50 e u 7 FORMULACION DE NORDSIECK Y METODOS PARA ECUACIONES ”STIFF” e o 7.1 Una t´cnica para cambiar el paso, y las f´rmulas de Gear . . 7.1.1 La formulaci´n de Nordsieck. . . . . . . . . . . . .. . o 7.1.2 Estabilidad y m´todos para ecuaciones ”stiff”. . . . . e
54 54 54 59
8 METODOS AUTOMATICOS. 64 8.1 Dise˜o de rutinas con un m´ n ınimo de par´metros de control. . 64 a 8.1.1 Necesidades para un algoritmo autom´tico. . . . . . . 64 a
3
Chapter 1
Introducci´n o
1.1
1.1.1
Repaso de las propiedades de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sus soluciones.
Solucionesanal´ ıticas y num´ricas. e
El problema m´s sencillo en ecuaciones diferenciales ordinarias es el de ena contrar una funci´n y(t) cuya derivada o dy = f (t, y) (1.1) dt donde f (t, y) es una funci´n dada de t, y. En el caso particular donde f (t, y) o no depende de y, y se escribe f (t), la soluci´n formal es o y=
.
y=
f (t) dt.
(1.2)
Sin embargo, atr´s de esta notaci´n quedan...
Roland England Marzo 2003.
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Contents
1 Introducci´n o 1.1 Repaso de las propiedades de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sus soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Soluciones anal´ ıticas y num´ricas. . . . . . . . . . . . e 1.1.2 Sistemas de ecuaciones, y ecuaciones de orden mayor que uno. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Soluciones generales y condiciones iniciales. . . . . . . 1.1.4 Singularidades y ecuaciones impl´ ıcitas. . . . . . . . . . 1.1.5 Teorema de existencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuaciones lineales, linealizaci´n de ecuaciones no-lineales, y o estabilidad del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Soluci´n general deecuaciones lineales. . . . . . . . . o 1.2.2 Aplicaci´n a la primera variaci´n de ecuaciones noo o lineales, y estabilidad del problema. . . . . . . . . . . 4 4 4 5 6 7 9 10 10 12
2 CONCEPTOS BASICOS PARA PROBLEMAS CON CONDICIONES INICIALES. 14 2.1 M´todo de Euler con an´lisis del error. . . . . . . . . . . . . 14 e a 2.1.1 M´todo de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e 2.1.2Pruebas num´ricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 e 2.1.3 Una cota para el error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Comprobaci´n num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o e 2.1.5 Estimaci´n del error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 o 3 ESTABILIDAD Y METODOS IMPLICITOS 21 3.1 Estabilidad del problema con condiciones iniciales . . . . . . 21 3.1.1 Problemas establescon cota grande para el error. . . . 21 e 3.1.2 Ecuaciones Diferenciales ”stiff”, y el m´todo de Euler. 22
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3.1.3
Un m´todo con regi´n de estabilidad absoluta m´s e o a grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 METODOS CON UN SOLO PASO 4.1 Clasificaci´n de m´todos . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 4.1.1 M´todos con un solo paso y conpasos m´ltiples. e u 4.1.2 El m´todo de la serie de Taylor. . . . . . . . . . e 4.1.3 M´todos de extrapolaci´n. . . . . . . . . . . . . . e o 4.1.4 M´todos del tipo Runge-Kutta. . . . . . . . . . . e
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5 METODOS DE RUNGE-KUTTA Y CONTROL DEL ERROR. 5.1 M´todos del tipo Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . e o o 5.1.1 Forma aut´noma, y notaci´n. . . . .. . . . . . . . . . 5.1.2 M´todo del punto medio por extrapolaci´n. . . . . . . e o 5.1.3 M´todos del tipo Runge-Kutta de orden dos. . . . . . e 5.1.4 La clase de m´todos de orden cuatro. . . . . . . . . . e 5.1.5 Suposiciones que permiten el ajuste pr´ctico del paso. a 5.1.6 Estimaci´n del error de truncamiento local. . . . . . . o
35 35 35 36 36 37 41 42
6 METODOS CON PASOS MULTIPLES 456.1 Introducci´n a los m´todos con pasos m´ ltiples. . . . . . . . . 45 o e u 6.1.1 Los m´todos de Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 e 6.1.2 Estabilidad de los m´todos de pasos m´ltiples. . . . . 50 e u 7 FORMULACION DE NORDSIECK Y METODOS PARA ECUACIONES ”STIFF” e o 7.1 Una t´cnica para cambiar el paso, y las f´rmulas de Gear . . 7.1.1 La formulaci´n de Nordsieck. . . . . . . . . . . . .. . o 7.1.2 Estabilidad y m´todos para ecuaciones ”stiff”. . . . . e
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8 METODOS AUTOMATICOS. 64 8.1 Dise˜o de rutinas con un m´ n ınimo de par´metros de control. . 64 a 8.1.1 Necesidades para un algoritmo autom´tico. . . . . . . 64 a
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Chapter 1
Introducci´n o
1.1
1.1.1
Repaso de las propiedades de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sus soluciones.
Solucionesanal´ ıticas y num´ricas. e
El problema m´s sencillo en ecuaciones diferenciales ordinarias es el de ena contrar una funci´n y(t) cuya derivada o dy = f (t, y) (1.1) dt donde f (t, y) es una funci´n dada de t, y. En el caso particular donde f (t, y) o no depende de y, y se escribe f (t), la soluci´n formal es o y=
.
y=
f (t) dt.
(1.2)
Sin embargo, atr´s de esta notaci´n quedan...
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