Metodo De Punto Fijo

METODOS NUMERICOS
Método de punto fijo para ecuaciones no lineales

Este método consiste en obtener una raíz o solución de una ecuación de la forma f(x)=0, la misma que debe ser transformada enuna ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x=g(x).
Ejemplo.
F(x)= Sen(x)-x= 0  Sen(x) = x  g(x)= Sen (x)
Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial(X0), del punto fijo Xi de “g”, de tal forma que: [Xi punto fijo de gsi Xi=g(x)].
Xn+1=g(Xn).
Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una aproximación, para k=1,2,3,… hasta que convergen, y expresada por la formula iterativa Xi+1=g(Xi) quegeneralizando se tiene: Xn+1=g(Xn).
Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible establecer el error aproximado, para ello se lo calcula usando el error normalizado () el mismo que se lo sintetiza conla expresión matemática:
| *100%
Convergencia del punto fijo

Dada la ecuación no lineal para encontrar la raíz, se plantea de la forma f(x)=0
f(x)=Sen(x)=0
Se transforma en una ecuación no linealequivalente de punto fijo g(x), de manera que se defina la nueva función de x llamada ahora g(x) entonces se tiene: x=g(x); en este caso se debe sumar “x” en ambos lados de la ecuación para expresarla ecuación reordenada de la siguiente manera:
x=g(x)  x + Sen(x) = x
Se procede a especificar un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial(X0), del punto fijo Xi de “g”,de tal forma que: [Xi punto fijo de g si Xi=g(Xi)].
Xn+1 = g(Xn)  X0 + Sen(X0) = X1  X0 =1
Al analizar el ejemplo:
g(x)= Sen(x) y claramente se cumple la condición de que g’(x)<1. Por lo tantoel método si converge a la raíz.
Al realizar las aproximaciones iterativas, se establece el error aproximado, para ello se calcula usando el error normalizado (Ea) mediante la expresión matemática:...