metodo de reduccion al absurdo
Adolfo Rodr´ıguez
Octubre de 2005
La Reducci´
on al Absurdo es uno de los m´etodos m´as usados para hacer demostraciones matem´aticas. La idea es suponer que la proposici´on que queremos demostrar
es falsa, y a partir de esta suposici´on, usando deducciones matem´aticas, llegar a una
contradicci´on o algo absurdo, lo cual implica que nuestra proposici´on esnecesariamente
cierta.
Veamos un ejemplo de una demostraci´on por reducci´on al absurdo:
P1. Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2 , entonces n
es par
Soluci´
on. Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicci´on.
Como n es impar, entonces n2 y n3 son ambos impares, de donde n + n2 + n3 es
impar (ya que es la suma de tres impares). Entonces,como m + m2 = n + n2 + n3 , se
tiene que m + m2 es impar.
Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente
alguno de los n´
umeros m ´o m + 1 es par). Hemos llegado a una contradicci´on. De all´ı se
tiene que n es par, que es lo que quer´ıamos demostrar.
Un ejemplo muy famoso del m´etodo de reducci´on al absurdo es la demostraci´on de
que existen infinitosprimos:
Soluci´
on. Supongamos que el n´
umero de primos es finito. Sean p1 , . . . , pn todos los primos. Sea p = p1 · · · pn + 1. Claramente p no es divisible por ning´
un primo. Sin embargo
sabemos que todo entero puede ser expresado como producto de primos elevados a potencias, por lo que p debe ser necesariamente divisible por alg´
un primo ¡Contradicci´on!.
Entonces el n´
umero de primoses infinito.
Algunas de las soluciones de los siguientes problemas han sido omitidas intencionalmente. Las soluciones que faltan ser´an publicadas en otro archivo.
P2. Se tiene un tablero de ajedrez (8 × 8) cuyas casillas miden todas 1cm × 1cm, y se
cuenta adem´as con muchas piezas de domin´o de dimensiones 2cm × 1cm. N´otese que
podemos colocar algunas de estas piezas de manera que cada una deellas cubra dos
casillas del tablero de ajedrez. Claramente, haciendo esto, el tablero puede ser cubierto
totalmente (sin que ninguna pieza quede con un trozo fuera del tablero). ¿Podr´a todav´ıa
ser cubierto si se elimina la casilla en una de las esquinas del tablero? ¿Y si se eliminan
las dos casillas de dos esquinas opuestas?.
1
P3. En cada casilla de un tablero de ajedrez 7 × 7 secoloca un caballo. ¿Podr´an todos
ellos hacer un movimiento legal al mismo tiempo de tal manera que todos caigan en
casillas distintas?.
un n´
umero racional x
P4. Sean a, b y c enteros impares. Demuestre que no existe ning´
2
tal que ax + bx + c = 0.
P5. Demuestre que existen infinitos primos de la forma 4k + 3, con k un entero.
Soluci´
on. Supongamos que el n´
umero de primos de laforma 4k + 3 (k entero) es
finito. Sean 4k1 + 3, 4k2 + 3, . . . , 4kn + 3 todos los primos de esa forma. Sea a =
2(4k1 + 3)(4k2 + 3) · · · (4kn + 3) + 1.
Como (4k1 +3)(4k2 +3) · · · (4kn +3) es impar, entonces 2(4k1 +3)(4k2 +3) · · · (4kn +
3) ≡ 2(m´od 4). Por lo tanto a ≡ 3(m´od 4). Por otro lado, es claro que a no es divisible
por ninguno de los n´
umeros 4k1 +3, 4k2 +3, . . . , 4kn +3. Estoimplica que ninguno de los
primos divisores de a es de la forma 4k + 3 (k entero). C´omo a es impar, entonces todos
los primos divisores de a deben ser de la forma 4k + 1. Por lo tanto a ≡ 1(m´od 4). Esto
contradice el hecho que hab´ıamos obtenido anteriormente que dice que a ≡ 3(m´od 4).
Esta contradicci´on es resultado de suponer que el n´
umero de primos de la forma 4k + 3
(k un entero) esfinito. Luego, el n´
umero de primos de la forma 4k + 3 es infinito.
P6. Demuestre que existen infinitos primos de la forma 6k + 5, con k un entero.
P7. Sea n un n´
umero impar, y sean K1 , K2 , . . . , Kn enteros cualesquiera. Para una permutaci´on (a1 , a2 , . . . , an ) de los n´
umeros del 1 al n, se define f (a1 , a2 , . . . , an ) = K1 a1 +
K2 a2 + · · · + Kn an . Demuestre que...
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