Metodo de Ruffini

Método de Ruffini

¿Que es el método de Ruffini?
En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»). El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utilizala regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (siendo r un número entero) si es coherente.

Historia del método de Ruffini
Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer ladivisión de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.
El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner esdifícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos. El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.
En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raízn-ésima; en la obra de Al Samaw'al (siglo XII). El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.

Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términosque faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos arepetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56, es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.x3 + 3 x2 + 6x +18
Algoritmo
La Regla de Ruffini establece un método para división del polinomio

entre el binomio

Para obtener el cociente

y el resto

1. Se trazan doslíneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (an):

2. Se multiplica (an) por r y se escribe debajo de an-1:

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

4. El proceso se repite:

Los valores b son los coeficientes del polinomioresultante de grado uno menos que el grado de . El residuo es

EJERCICIOS RESUELTOS
EJEMPLO 1:
A = 10 x2 - 5 - 3x4 + 2x3
B = x + 2
A:B = (10x2 - 5 - 3x4 + 2x3) : (x + 2) =

1) Polinomio A ordenado y completo: -3x4 + 2x3 + 10x2 + 0x - 5
2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2


Cociente = -3x3 + 8x2 - 6x + 12
Resto: -29
Solamente se puedeaplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini, se ponen los coeficientes de dividendo
-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda...