Metodo De Rung Kutta

El método de Runge-Kutta

Es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Descripción
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
,

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local.
Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden
Unmiembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor(yn) más el producto del tamaño del intervalo (h)por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando para determinar el valor de y en el punto usando el método de Euler. es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando para determinar el valor de y es la pendiente al final del intervalo, con el valorde y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Ejercicios
Ejemplo 1.
Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.

PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }
h =0.5 – 0 / 5 h =0.1
Por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5  
ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2
K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)
K1 =3
 
K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)
K2 =3.088243
 
K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]
K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)
K3 =3.086037
 
K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]
K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)
K4 =3.178846 
y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}
y1(0.1) =2.308790
ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790
K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)
K1 =3.178753
 
K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]
K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)
K2 =3.276123
 
K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)
K3 =3.273689
 
K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]
K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)
K4 =3.375964
 
y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}
y2(0.2) =2.636362
 
ITERACIÓN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362
K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636362)
K1 =3.375862
 
K2 =f [0.2+0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155]
K2 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.805155)
K2 =3.483033
 
K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513]
K3 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.810513)
K3 =3.480354
 
K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397]
K4 =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984397)
K4 =3.592798
 
y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2*3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]}
y2(0.3) =2.984619
 
ITERACIÓN IV i =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619
K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984619)
K1 =3.592687
 
K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253]
K2 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.164253)
K2 =3.710392
 
K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138]
K3 =4e(0.8*0.35) – (0.5 *...