metodo de Runge Kutta
Páginas: 5 (1038 palabras)
Publicado: 10 de junio de 2013
CENTRO DE ENSEÑANZA
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
Método de Runge Kutta
El método más utilizado para resolver una ecuación diferencial de primer orden es el de Runge Kutta,
estos métodos se basan en aproximar una función usando la expansión de la serie de Taylor. El método de
Runge Kutta de primer orden usa la serie de Taylor de primer orden, de la misma formaRunge Kutta de
segundo orden usa la serie de Taylor de segundo orden y así sucesivamente.
La serie de Taylor para evaluar f(b) es;
( )
Si (
)
( )
(
) ( )
(
)
(
( )
)
( )
se tiene;
( )
( )
( )
( )
( )
Sea yb=f(b) y ya=f(a)
Runge Kutta de Primer Orden (Método de Euler)
A los métodos de Runge Kutta se les denomina “soluciones con valores en lafrontera”, “soluciones con
valores iniciales”, el metodo de Runge Kutta de segundo orden corresponde al método de Euler
modificado:
[
]
(
)
(
)
Runge Kutta de Segundo (Método de Euler Modificado)
Ejemplo 1;
Encontrar el valor de “y” utilizando el método de Runge – Kutta de segundo orden para la ecuación
};
(
)
( )
diferencial; {
∫
∫
[
(
]
)
(
)
[
]MT130 Análisis Numérico
Ing. Juan Gilberto Mateos Suárez
1
CENTRO DE ENSEÑANZA
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
(
(
)
( )( )
[(
)
(
( ))]
)(
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]
[
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)
]
)(
(
[(
)
)
(
)(
(
)(
[
0
1
2
3
4
5
1
1.232
1.5478
1.9832
(
)
]
(
]
))]
)
[
i
)
)
[
(
(
)
(2
2.7104
3.715
)
xi
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.64
3.6072
4.9904
Ejemplo 2;
Utilizar el método de Runge – Kutta de segundo orden para la ecuación diferencial, desde a=0 hasta
b=4 con h =0.5, la condición inicial es; y(0)=1.
(
)
Solución;
[
]
(
)
(
)
[
]
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)(
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MT130 Análisis Numérico
Ing. Juan Gilberto MateosSuárez
))]
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CENTRO DE ENSEÑANZA
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
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[(
[
)(
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y0=1
3.4375
3.3755
2.6875
2.575
3.1875
4.375
4.9375
3
)
]
(
]
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)
[
i
))]
]
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(
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))]
)
(
8.5
1.25-1.5
-1.25
0.5
2.25
2.5
-0.25
)
1.25
-1.5
-1.25
0.5
2.25
2.5
-0.25
-7.5
xi
x0=0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Método de Runge Kutta de tercer Orden
Al hacer un análisis análogo a la del método de segundo orden para n = 3, se obtienen seis ecuaciones con
ocho incógnitas, si se especifican arbitrariamente los valores de dos de las incógnitas se determinan los
parámetrosrestantes, el resultado es;
[
En donde
(
]
(
)
)
(
)
Runge Kutta de tercer Orden, (Simpson 1/3)
Este método se reduce a la regla de Simpson 1/3 si la derivada está en función de la variable x.
MT130 Análisis Numérico
Ing. Juan Gilberto Mateos Suárez
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CENTRO DE ENSEÑANZA
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
Ejemplo 3;
Utilizar el método de Runge– Kutta de tercer orden para la ecuación diferencial, desde a=0 hasta b=1
con h =0.5, la condición inicial es; y(0)=1, para calcular la primera iteración.
(
)
Solución;
[
]
(
)
(
)
(
)
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(
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)
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)]
)
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)
[
[
y0=1
3.2188
)
(
)(
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()
[
0
1
)
)
(
i
(
]
(
)
]
xi
]
8.5
4.2188
1.25
x0=0
0.5
Ejemplo 4;
Utilizar el método de Runge – Kutta de tercer orden para obtener la solución de la siguiente ecuación
diferencial, con las condiciones iniciales y(0)=2, desde a=0 hasta b=1 con h =1
Solución;
MT130 Análisis Numérico
Ing. Juan Gilberto Mateos Suárez
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CENTRO DE...
TÉCNICA INDUSTRIAL
INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
Método de Runge Kutta
El método más utilizado para resolver una ecuación diferencial de primer orden es el de Runge Kutta,
estos métodos se basan en aproximar una función usando la expansión de la serie de Taylor. El método de
Runge Kutta de primer orden usa la serie de Taylor de primer orden, de la misma formaRunge Kutta de
segundo orden usa la serie de Taylor de segundo orden y así sucesivamente.
La serie de Taylor para evaluar f(b) es;
( )
Si (
)
( )
(
) ( )
(
)
(
( )
)
( )
se tiene;
( )
( )
( )
( )
( )
Sea yb=f(b) y ya=f(a)
Runge Kutta de Primer Orden (Método de Euler)
A los métodos de Runge Kutta se les denomina “soluciones con valores en lafrontera”, “soluciones con
valores iniciales”, el metodo de Runge Kutta de segundo orden corresponde al método de Euler
modificado:
[
]
(
)
(
)
Runge Kutta de Segundo (Método de Euler Modificado)
Ejemplo 1;
Encontrar el valor de “y” utilizando el método de Runge – Kutta de segundo orden para la ecuación
};
(
)
( )
diferencial; {
∫
∫
[
(
]
)
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]MT130 Análisis Numérico
Ing. Juan Gilberto Mateos Suárez
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0
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2
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1.232
1.5478
1.9832
(
)
]
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]
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)
[
i
)
)
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(
(
)
(2
2.7104
3.715
)
xi
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.64
3.6072
4.9904
Ejemplo 2;
Utilizar el método de Runge – Kutta de segundo orden para la ecuación diferencial, desde a=0 hasta
b=4 con h =0.5, la condición inicial es; y(0)=1.
(
)
Solución;
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]
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)
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)
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]
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)
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]
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2.25
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-1.5
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-7.5
xi
x0=0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Método de Runge Kutta de tercer Orden
Al hacer un análisis análogo a la del método de segundo orden para n = 3, se obtienen seis ecuaciones con
ocho incógnitas, si se especifican arbitrariamente los valores de dos de las incógnitas se determinan los
parámetrosrestantes, el resultado es;
[
En donde
(
]
(
)
)
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)
Runge Kutta de tercer Orden, (Simpson 1/3)
Este método se reduce a la regla de Simpson 1/3 si la derivada está en función de la variable x.
MT130 Análisis Numérico
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3
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INGENIERÍA MECATRÓNICA, PLANTEL TONALÁ
Ejemplo 3;
Utilizar el método de Runge– Kutta de tercer orden para la ecuación diferencial, desde a=0 hasta b=1
con h =0.5, la condición inicial es; y(0)=1, para calcular la primera iteración.
(
)
Solución;
[
]
(
)
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)
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i
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]
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)
]
xi
]
8.5
4.2188
1.25
x0=0
0.5
Ejemplo 4;
Utilizar el método de Runge – Kutta de tercer orden para obtener la solución de la siguiente ecuación
diferencial, con las condiciones iniciales y(0)=2, desde a=0 hasta b=1 con h =1
Solución;
MT130 Análisis Numérico
Ing. Juan Gilberto Mateos Suárez
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