Metodo De Runge


Método de Runge-Kutta.
.Este método numérico fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos Carl Runge y Martin Wilhelm Kutta. De ahí proviene el nombre del método, porlos apellidos que lo desarrollaron. Es un conjunto de métodos genéricos iterativos, es, decir no es un método directo. Este método nos ayuda a la resolución numérica de ecuaciones diferencialesordinarias concretamente, del problema del valor inicial de la forma:

Método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden está dado por:


Dónde:







Asi, el siguiente valor es determinado por el presente valormaas el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de las pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo y es lapendiente en el punto medio del intervalo, usando para determinar el valor de “y” en el punto usando el método de Euler. es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando para determinar elvalor de “y” y es la pendiente al final del intervalo, con el valor de “y” determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio que está dadapor:

Ejercicio:
Con el método clásico de Rungen-Kutta de cuarto orden con h=0.5, resuelva la siguiente ecuación diferencial ordinaria de valor inicial en el intervalo de X= 0 a 2:

Donde y(0)=1.Grafique la solución.
Como se puede observar esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria ya que solo hay derivadas ordinarias.(solo una variable independiente)
Solución:


Entonces esta dado por:Por lo tanto es igual a:

Para :


Ahora se sustituye y:







Para es:



Para se sigue el mismo procedimiento:



Sustituyendo los valores de y en la ecuación original, se obtiene:



Segundaiteración:


Entonces esta dado por:

Por lo tanto es igual a:

Para :


Ahora se sustituye y:



Para es:



Para se sigue el mismo procedimiento:



Sustituyendo los valores de y en la...