Metodo De Simpson

Regla de Simpson

La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
.

Contenido * 1 Introducción * 2 Derivación de la regla de Simpson* 3 Error * 4 Regla de Simpson compuesta * 5 Historia * 6 Véase también * 7 Referencias * 8 Enlaces externos |
Introducción
En integración numérica, Una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular laintegral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado.
Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando entre los nodos x0 = a, x1 = b y m =(a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada[1]

es equivalente a

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

Error
El término error E(f), llamado error global, corresponde a[1]

donde y pertenece al intervalo [a,b].
Se puede calcular una estimación del errorcometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos absolutos) está acotado como[2]

donde, de nuevo y .
Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a lafórmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que , donde para .
Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo tenemos:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

El máximo error viene dado por la expresión
Historia
La fórmula fue utilizada por primera vez por Evangelista Torricelli, pero debe sunombre al matemático Inglés Thomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615.
Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto en Praga en 1611, Kepler se casó nuevamente - en Linz, donde ahora trabajaba - en 1613. Para la boda compró algunos tonelesde vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Keplerse sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista.[3]
A raíz de esto, Kepler formuló en 1615 el escrito NovaStereometria doliorum vinariorum (Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino), en el que buscaba métodos verificables para el cálculo del contenido de los toneles de vino. Uno de estos métodos consistió en aproximar la curvatura del barril por una parábola, dado que los cálculos con ayuda de parábolas ya se podían realizar muy exactamente desde Arquímedes.[4]
Entre otras cosas, Kepler...