Metodo de variacion de parametros
Páginas: 6 (1420 palabras)
Publicado: 2 de julio de 2013
Ejemplos desarrollados de ecuaciones diferenciales por el método de variación de parámetros
Dada la ecuación diferencial
El método de variación de los parámetros se puede esquematizar de la siguiente manera
1. Resuelva la ecuación diferencial homogénea
y obtenga yh(x):
2. Proponga como solución particular
yp = u1(x) yh1 + u2(x) yh2
donde las funciones u1(x) y u2(x)son funciones a determinar en el método y las y1 y y2 son las soluciones a la ecuación homogénea (6).
3. Sustituya esta solución propuesta en la ecuación (5) para obtener, luego de algún nivel de algebra elemental
de donde surge el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
con sus soluciones de la forma
e integrando se obtienen loscoeficientes respectivos,
para finalmente obtener la solución general
y = C1 y1 + C2 y2 + u1(x) y1 + u2(x) y2
nótese que no incorporamos las constantes de integración en la funciones
u1(x) y u2(x):
Ejemplo:
La ecuación inhomogenea de Cauchy1-Euler2
con los ai = ctes; puede ser resuelta por este método.
Consideremos una ecuación de orden 2
La solución de lahomogénea se propone como yh = xm por lo tanto
por lo tanto
Como
1. Si m1 6= m2 y ambas reales, entonces la solución de la homogénea será
yh = C1xm1 + C2xm2
2. Si m1 = m2 y ambas reales, entonces la solución de la homogénea será
yh = xm1 (C1 + C2 ln x)
3. Si , entonces la solución de la homogénea será
Ahora para lograr la solución de la inhomogeneasuponemos el caso m1 6= m2 por lo tanto
La siguiente ecuación diferencial
tiene como solución de la homogénea
yh = x (C1 cos(2 ln x) + C2 sen(2 ln x))
la solución particular por el método de variación de los parámetros queda como
yp = u1(x) yh1 + u2(x) yh2
calculando los coeficientes respectivos en donde el Wronskiano
W (x cos(2 ln x); x sen(2 ln x)) = 2x
por lo cual loscoeficientes quedan
finalmente las solución particular será
y la general
Ejemplos Propuestos
Ecuaciones Diferenciales con coeficientes variables
1. Resolver las siguientes ecuaciones de Euler:
2. Determinar los puntos singulares regulares, sus ecuaciones indíciales y las raíces indícialesde las siguientes ecuaciones.
3. Hallar por lo menos los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo en serie de potencias de UNA solución en un entorno del punto singular x = 0 de las siguientes ecuaciones.
4. Resolver las siguientes ecuaciones.
Definición y ejemplos de ecuaciones con coeficientes variables
Definición de ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial (ED) esuna ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.
La frase de manera no trivial que hemos usado en ladefinición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
Es claro que lo queestá detrás de esta ecuación es la fórmula notable por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
para algún entero positivo . Si...
Dada la ecuación diferencial
El método de variación de los parámetros se puede esquematizar de la siguiente manera
1. Resuelva la ecuación diferencial homogénea
y obtenga yh(x):
2. Proponga como solución particular
yp = u1(x) yh1 + u2(x) yh2
donde las funciones u1(x) y u2(x)son funciones a determinar en el método y las y1 y y2 son las soluciones a la ecuación homogénea (6).
3. Sustituya esta solución propuesta en la ecuación (5) para obtener, luego de algún nivel de algebra elemental
de donde surge el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
con sus soluciones de la forma
e integrando se obtienen loscoeficientes respectivos,
para finalmente obtener la solución general
y = C1 y1 + C2 y2 + u1(x) y1 + u2(x) y2
nótese que no incorporamos las constantes de integración en la funciones
u1(x) y u2(x):
Ejemplo:
La ecuación inhomogenea de Cauchy1-Euler2
con los ai = ctes; puede ser resuelta por este método.
Consideremos una ecuación de orden 2
La solución de lahomogénea se propone como yh = xm por lo tanto
por lo tanto
Como
1. Si m1 6= m2 y ambas reales, entonces la solución de la homogénea será
yh = C1xm1 + C2xm2
2. Si m1 = m2 y ambas reales, entonces la solución de la homogénea será
yh = xm1 (C1 + C2 ln x)
3. Si , entonces la solución de la homogénea será
Ahora para lograr la solución de la inhomogeneasuponemos el caso m1 6= m2 por lo tanto
La siguiente ecuación diferencial
tiene como solución de la homogénea
yh = x (C1 cos(2 ln x) + C2 sen(2 ln x))
la solución particular por el método de variación de los parámetros queda como
yp = u1(x) yh1 + u2(x) yh2
calculando los coeficientes respectivos en donde el Wronskiano
W (x cos(2 ln x); x sen(2 ln x)) = 2x
por lo cual loscoeficientes quedan
finalmente las solución particular será
y la general
Ejemplos Propuestos
Ecuaciones Diferenciales con coeficientes variables
1. Resolver las siguientes ecuaciones de Euler:
2. Determinar los puntos singulares regulares, sus ecuaciones indíciales y las raíces indícialesde las siguientes ecuaciones.
3. Hallar por lo menos los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo en serie de potencias de UNA solución en un entorno del punto singular x = 0 de las siguientes ecuaciones.
4. Resolver las siguientes ecuaciones.
Definición y ejemplos de ecuaciones con coeficientes variables
Definición de ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial (ED) esuna ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial.
La frase de manera no trivial que hemos usado en ladefinición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:
Esta ecuación es satisfecha por cualquier función en una variable que sea derivable. Otro ejemplo es
Es claro que lo queestá detrás de esta ecuación es la fórmula notable por lo que la ecuación es satisfecha por cualquier función derivable.
Nuestra atención se centrará sobre ecuaciones diferenciales ordinarias . Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que tiene a como variable dependiente y a como variable independiente se acostumbra expresar en la forma
para algún entero positivo . Si...
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