Metodo del lugar de las raices

El método del lugar de las raíces.
Las características de un sistema de lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuacióncaracterística. Para encontrarlos se debe descomponer en factores la ecuación característica lo que resulta muy laborioso. El método del lugar de las raíces está basado en técnicas de tanteo y error y es unprocedimiento gráfico, por el cual se trazan las raíces de la ∞. Este método permite encontrar los polos de lazo cerrado partiendo de los polos y ceros de lazo abierto tomando a las ganancias comoparámetro. Un ejemplo sería: Encontrar las posiciones de los polos de lazo cerrado variando K algunos valores a partir de la función de transferencia de lazo abierto : GH(S) = K S(S+2) Para encontrar lospolos de lazo cerrado se resuelve la ecuación característica 1+ GH(S) =0 1+ K S(S+2) S2 + 2 S + K =0 Resolviendo queda : S1,2 = -1 ± K=0 K=2 S1 = 0 1–K S2 = -2 K= 1 S1= -1 S2 = -1 =0 ecuación exactamentepara todos los valores de un parámetro del sistema que normalmente es la ganancia K variándola desde 0 a

S1= -1 + j S2 = -1 – j

K= ∞ . S1= -1 + j∞ S2 = -1 -j∞

Si extendemos los puntos enuna gráfica en el plano S se tiene X K= ∞ .jw

X K= 2 K=0 X -2 X K= 2 X K= ∞ . Por lo complicado que sería el trazo para todos los valores de K y ecuaciones de orden superior a 2 se prefiere usar eltrazado del lugar de las raíces usando reglas de construcción y los criterios de ángulo y de magnitud. X K=1 K=0 X

σ

Criterio de magnitud y el criterio del ángulo.

Criterio de magnitud
GH(S)= 1

Criterio del ángulo GH(S) = ( 2l +1 )180° para l = 0,1,2,3, ....

Formas de representación de un numero complejo.

Forma rectangular S = x +J y

Forma trigonométrica x= r cos θ y = r senθ r= x2+ y2

S = r (cos θ +j sen θ )
Forma polar. S= r θ

Forma exponencial.

S=

r e jθ

Propiedades de los números complejos. Z = r1 e
j θ1

r2 e

j θ2

r

4

e j θ4

r3...