Metodo del punto fijo

Método del punto fijo

Ejemplo: La función g(x) = (1+sen x)1/2  tiene un único punto fijo en el intervalo [0,2].
 

Interpretación gráfica de la iteración de punto fijo.
 
La técnica deiteración de punto fijo puede ilustrarse gráficamente teniendo en cuenta que P será solución del problema de punto fijo x=g(x) si la curva y=g(x) y la recta y=x se cortan en el punto (P, P).La función g  tiene un único punto fijo

El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia y unicidad de un punto fijo.

Teorema 1: Si se cumple que
Entonces gtiene un punto fijo en [a, b].
Supóngase, además, que g'(x) existe en (a, b) y que existe una constante positiva k<1, tal que,

Entonces el punto fijo en [a, b] es único.
 
Vamos a comprobar lafunción g(x) = (1+sen x)1/2  que cumple las condiciones del teorema anterior:

 

Teorema 2: En las condiciones del teorema 1, si p0 es cualquier número en [a, b], entonces la sucesión definidapor pn=g(pn-1),    n≥1 converge al único punto fijo p en [a, b]. Esta técnica se llama iteración de punto fijo.
Además, una cota del error absoluto que se comete al aproximar el punto fijo p porpn, viene dada por:
|p-pn|≤ kn máx{p0-a,b-p0}

Ejemplo: Aproximamos el punto fijo de la función g(x)=(1+sen x)1/2 el intervalo [0,2] mediante la iteración de punto fijo tomando como dato inicialp0=1.
p0 = 1.0000   
p1 = g(p0) = (1+sen p0)1/2 = 1.3570   
p2 = g(p1) = (1+sen p1)1/2 = 1.4061   
p3 = g(p2) = (1+sen p2)1/2 = 1.4094   
p4 = g(p3) = (1+sen p3)1/2 = 1.4096
 
Acotamos el errorcometido, utilizando la fórmula dada en el teorema 2:
 

Ejercicios:

1. Estima el número de iteraciones necesarias para obtener una solución de la ecuación x=2-x en el intervalo [1/3, 1] siutilizamos el método del punto fijo con p0=1 y queremos que el error cometido sea inferior a 10-6.

2. Consideremos la función

a. Demuestre que tiene un único punto fijo en [0, 2π]...