Metodo Eliminacion Gauss-Jordan

Sistemas de
ecuaciones
m×n
Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

Sistemas de ecuaciones m × n
Eliminación Gauss-Jordan
Laura Hidalgo Solís
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa

2 de Marzo de 2012

Sistemas de
ecuaciones
m×n

Eliminación Gauss-Jordan

Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

El método de eliminación Gauss-Jordan es un tipoespecial
de procedimiento de eliminación.
Comienza con el sistema original de ecuaciones m × n y lo
transforma, mediante operaciones de renglón, en un
sistema equivalente (es decir, aquel que tiene el mismo
conjunto solución que el sistema original) en el cual la
solución puede leerse directamente.

Sistemas de
ecuaciones
m×n

Ejemplo 1.

Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordanA continuación presentamos que sucede para un sistema
2 × 2 con una única solución:
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
↓
1x1 + 0x2 = c1
0x1 + 1x2 = c2
↓
x1 = c1 , x2 = c2

Sistema original

Sistema transformado
Conjunto solución.

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ecuaciones
m×n

Ejemplo 2.

Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

A continuación presentamos que sucede para unsistema
2 × 2 con una infinidad de soluciones:
a11 x1 + a12 x2 = b1
Sistema original
a21 x1 + a22 x2 = b2
↓
1x1 + c12 x2 = d1
Sistema transformado
0x1 + 0x2 = 0
↓
x1 = d1 − c12 t , x2 = t , t ∈ R Conjunto solución.

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ecuaciones
m×n

Ejemplo 3.

Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

A continuación presentamos que sucede para un sistema
2 × 2 sin solución:a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
↓
1x1 + c12 x2 = d1
, d2 = 0
0x1 + 0x2 = d2
↓
∅, Conjunto solución:

Sistema original

Sistema transformado

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ecuaciones
m×n

Operaciones renglón

Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

Dado un sistema AX = B de m ecuaciones por n
incógnitas, las siguientes operaciones dan lugar a sistemas
equivalentes:Operaciones básicas por renglón
1

El orden de las ecuaciones es intercambiable.

2

Ambos miembros de una ecuación pueden
multiplicarse por una constante no cero.

3

Pueden sumarse a una ecuación los múltiplos no cero
de otra ecuación.

Sistemas de
ecuaciones
m×n
Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

Ejemplo 4
A continuación presentamos un sistema de ecuaciones, ymostraremos cómo se resuelve usando las operaciones
elementales:
x1 + x2 + x3 = 20 R1
2x1 − 3x2 + x3 = −5 R2
6x1 − 4x2 + 4x3 = 30 R3
Paso 1: Si al renglón 2 le restamos 2 veces el renglón 1, y
al renglon 3 le restamos 6 veces el renglón 1, obtenemos el
sistema equivalente:
1x1 + 1x2 + 1x3 = 20 R1
0x1 − 5x2 − 1x3 = −45 R2 = R2 − 2R1
0x1 − 10x2 − 2x3 = −90 R3 = R3 − 6R1

Sistemas deecuaciones
m×n
Laura
Hidalgo Solís

1
(es decir,
5
dividimos por −5) obtenemos otro sistema equivalente al
original, a saber:
Paso 2: Si al renglón R2 lo multiplicamos por −

Eliminación
GaussJordan

1x1 + 1x2 + 1x3 = 20 R1
1
1
0x1 + x2 + x3 = 9 R2 ” = − R2
5
5
0x1 − 10x2 − 2x3 = −90 R3
Paso 3: Ahora, al renglón R3 le sumamos 10 veces el
renglón 2 tenemos:
1x1 + 1x2 + 1x3 = 20 R1
10x1 + x2 + x3 = 9 R2 ”
5
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 R3 ” = R3 + 10R2 ”

Sistemas de
ecuaciones
m×n
Laura
Hidalgo Solís
Eliminación
GaussJordan

En este momento, es imposible continuar con nuestro
proceso de eliminación de variables de izquierda a derecha,
el hecho de que la tercer ecuación sea cero, nos indica que
el sistema tiene una infinidad de soluciones, auque aún
podemos efectuaruna operación adicional para obtener la
solución del sistema:
Paso 4: Si al renglón 1, le restamos una vez el renglón 2,
obtenemos el sistema equivalente:
4
1x1 + 0x2 + x3 = 11 R1 = R1 − R2 ”
5
1
0x1 + x2 + x3 = 9 R2 ”
5
0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 R3 ”

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ecuaciones
m×n
Laura
Hidalgo Solís

Lo anterior significa que podemos escribir las variables x1 y
x2 en términos de la...