Metodo Fadheva

D 10
DETERMINANTES.La función determinante asigna un número real α a una matriz nxn:
D : R n×n → R ; Si A ∈ R nxn entonces D( A) = det( A) = α ∈ R
Propiedades de los Determinantes.1. det (A) = det (AT): El determinante de la transpuesta de una matriz A, es igual al
determinante de A. Por tanto cualquier propiedad que se refiera a las filas en un
determinante, también es válida para columnas.2. Si la matriz A’ resulta de intercambiar entre sí dos filas (o columnas) en la
matriz A, entonces det (A’) = – det (A).
3. Si la matriz A’ resulta de multiplicar toda una fila de A por un escalar k, entonces
det (A’) = k det (A). Esta propiedad permite “extraer” factores comunes a todos
los elementos de una fila o columna.
4. Si la matriz A’ resulta de sumar el múltiplo escalar de unafila a otra fila en la
matriz A, entonces det (A’) = det (A). Con esta propiedad se pueden realizar
operaciones tanto en filas como en columnas, sin alterar el valor del
determinante, para llegar a la forma triangular de la matriz.
5. El determinante de la matriz identidad (de cualquier tamaño) es igual a 1.
6. Si una fila (columna) es idéntica a otra, el determinante es cero.
7. Si una fila(columna) es proporcional a otra, el determinante es cero.
8. El determinante de una matriz que tiene una fila (columna) nula, es igual a cero.
9. El determinante de una matriz diagonal ó triangular superior ó triangular inferior
es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
10. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los
determinantes de lasmatrices: det(AB) = det (A) det (B)
11. Si A es no singular, entonces det (A-1) =

1
det( A)

Regla de Sarrús para calcular el determinante de una matriz 2x2.a b
a b
 entonces det(A) =
Si A = 
= ad - bc
c d
c d 

Regla de Sarrús para calcular el determinante de una matriz 3x3.-

La regla de Sarrús se aplica únicamente a matrices 2x2 y 3x3. En el caso de
matrices de orden 4 ósuperior, se aplican las propiedades de los determinantes para
llevar la matriz a su forma triangular.
Ejemplos de cálculo de determinantes. 2 1
 ;
1) A = 
 −1 3

 10 5 

B = 
 − 1 3

La 1ª fila de B es el
quíntuplo de la 1ª fila de A

entonces: det (B) = 5 det(A).

12 
 1 −1
 1 − 1 12 
 1 −1 2






2) det  3 4
36  = 5 ⋅ det  3 4 36  = 5 ⋅6 ⋅ det  3 4 6  .
10
2
2
5 − 30 
1 − 6 
1 − 1




 1 − 4 1
 1 1 1




3) det  − 1
4 1 = −4 det  − 1 − 1 1 = 0
 3 − 12 3 
 3 3 3




 2 − 1 3
 2 − 1 3
3 − 1 2






4) det  1 0 1 = − det  4 2 1 = det  1 2 4  .
4
 1 0 1
 1 0 1
2 1






2
5)

1 −1

1 2
3 0

1 2 −1

1 = −2 1
2
0 31

2 −1

1 = −0 −3
2
0
3

1

2 −1

3 = −0 −3
2
0
0
1 a a2

6) Calcular el determinante de Vandermonde: 1 b b 2
1 c c2
Respuesta.- (b – a )(c – a )(c – b)

3 = −( −15 ) = 15.
5

Otra propiedad muy útil indica que si la fila j de la matriz A puede descomponerse como
suma de dos filas: Aj =A1j + A2j, entonces el determinante de A es igual a la suma de los
determinantesque tienen en vez de la fila j, la fila A1j y la fila A2j respectivamente. La
propiedad vale también para columnas.
a b
 a + bt
 ≠ 0 , encontrar t de forma que det 
Ejemplo. Si 
 x y
 x + yt

at + b 
≠0
xt + y 

Solución.- Descomponiendo el determinante:
 a + bt at + b 
 a at + b 
 bt at + b 
 = det
 + det

det
 x + yt xt + y 
 x xt + y  yt xt + y 

 a at 
a b
 bt
 + det 
 + det 
= det 
 x xt 
 x y
 yt

at 
 bt
 + det 
xt 
 yt

b

y 

a a
a b 2
b a
b b
 + det 
 + t ⋅ det 
 + t ⋅ det 

= t ⋅ det 
x x
x y
y x
y y 




14243
142
4 43
4
0

0

(

)

a b 2 a b
a b
 − t det 
 = 1 − t 2 det 

= det...