METODO INTERPOLACION

CAPÍTULO 18 Interpolación
18.1.1 Interpolación lineal
La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una línea recta.
Dicha técnica, llamada interpolación lineal se ilustragráficamente utilizando triángulos semejantes.

Fórmula de interpolación lineal. La notación f1(x) designa que éste es un polinomio de interpolación de primer grado. Observe que además derepresentar la pendiente de la línea que une los puntos, el término [ f(x1) – f(x0)]/(x1 – x0) es una aproximación en diferencia dividida finita a la primer derivada.

Esquema grafico de la interpolaciónlineal



Cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación.

Conforme el intervalo disminuye, una función continua estará mejor aproximada por una línea recta.



18.1.2Interpolación cuadrática

Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, éstos puedenajustarse en un polinomio de segundo grado (también conocido como polinomio cuadrático o parábola).

Una ecuación para una función de este tipo quedaría así; después de agrupar y multiplicar algunostérminos de la original.

f2(x) = a0 + a1x + a2x2
Donde
a0 = b0 – blx0 + b2x0x1
a1 = b1 – b2x0 – b2x1
a2 = b2
Después de varios cálculos y sustituciones resulta una ecuación del segundo tipo en la cualsustituimos los valores dados

18.1.3 Forma general de los polinomios de interpolación de Newton
El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo grado a n
+ 1 datos.El polinomio de n-ésimo grado es

fn(x) = b0 + b1(x – x0) + · · · + bn(x – x0)(x – x1)· · ·(x – xn–1)
Los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes, para un polinomio den-ésimo grado se requieren n + 1 puntos. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:
b0 = f(x0)
b1 = f[x1, x0]
b2 = f[x2, x1, x0]
·
·
·
bn = f[xn, xn–1, ·...