Metodo Jacobiano

4.-Resuelva con el metodo jacobiano, lo siguiente:
minimizar f (X ) = 5x2 + x2 + 2x1 x2
1
2
sujeta a
g (X ) = x1 x2 10 = 0
a) determine el cambio en el valor optimo de f (X ) si se sutituye la restriccion
con g (X ) = x1 x2 9:99 = 0
b) calcule el valor de f (X ) en la proximidad del punto factible (2,5) si x1 x2 =
9:99 y @x1 = 0:01
SOLUCION:
sean Y (x2 ) varible dependiente y Z (x1 )variable independiente
@ (5x2 +x2 +2x1 x2 )
@f
1
2
= 2x1 + 2x2
rY f = ( @x2 ) =
@x2

@ (5x2 +x2 +2x1 x2 )
1
2
= 10x1 + 2x2
@x1
@ (x1 x2 10)
@g
Jacobiano (J) [ @x2 ] =
= x1
@x2
@ (x1 x2 10)
@g
Matriz de control (C) [ @x1 ] =
= x2
@x1
1
1
1
J C=
(x1 ) (x2 ) = x1 (x2 )
r c f = r Z f rY f J 1 C
1
rc f = (10x1 + 2x2 ) (2x1 + 2x2 ) x1 (x2 )
@f
rZ f = ( @x1 ) =

rc f =(10x1 + 2x2 )
(10x1 + 2x2 )

2x2 +

1
x1 x2
2x2
2
x1

(2x1 + 2x2 ) = (10x1 + 2x2 )

= 10x1

x
( 2x11 x2 +

2x2
2
x1 )

=

22
x1 x2

2
rc f = 10x1 x1 x2
2
las ecuaciones para determinar los puntos estacionarios son:
rc f = 0
g (X ) = 0
2
10x1 x1 x2
2
, Solution is:
x1 x2 10
[x1 = 2: 114 7; x2 = 4: 728 7]
[x1 = 2: 114 7; x2 = 4: 728 7]
[x1 = 2: 114 7i; x2 = 4:728 7i]
[x1 = 2: 114 7i; x2 = 4: 728 7i]

SOLUCION a)
las ecuaciones para determinar los puntos estacionarios son, sujeto a la restriccion g (X ) = x1 x2 9:99 = 0:
2
10x1 x1 x2
2
, Solution is:
x1 x2 9:99
[x1 = 2: 113 7; x2 = 4: 726 3]
[x1 = 2: 113 7; x2 = 4: 726 3]
1

[x1 = 2: 113 7i; x2 = 4: 726 3i]
[x1 = 2: 113 7i; x2 = 4: 726 3i]
)se deduce que existe un cambio @x1 y @x2 en elvalor optimo de f (X ) en
dado un cambio en la restriccion g (X )
x1 = ( 2: 114 7) ( 2: 113 7) = 0:001
x2 = ( 4: 728 7) ( 4: 726 3) = 0:002 4
SOLUCION b)
sean Y (x2 ) varible dependiente y Z (x1 ) variable independiente
@ (5x2 +x2 +2x1 x2 )
@f
1
2
= 2x1 + 2x2
rY f = ( @x2 ) =
@x2
@ (5x2 +x2 +2x1 x2 )
1
2
= 10x1 + 2x2
@x1
@ (x1 x2 9:99)
@g
(J) [ @x2 ] =
= x1
@x2
@ (x1 x29:99)
@g
control (C)[ @x1 ] =
= x2
@x1
2
1
1
(x2 ) (x1 ) =
(5) (2) = 5

@f
rZ f = ( @x1 ) =

Jacobiano

Matriz de
J 1C =
) el valor incremental de f restringida es
@C f = ( rZ f rY f J 1 C )@Z = ((10x1 + 2x2 )
2
(2(2) + 2(5)) (10 (2) + 2 (5))
5 )@x1 = 2@x1
@C f = 2@x1

(2x1 + 2x2 )

2
5

)@x1 = (

@Y = J 1 C@Z = ( 2 )(0:01) = 0:004 = @x2
5
Ahora se compara el valorde @C f que se calculo arriba con la diferencia
f (xo + @x) f (xo ) para @x1 = 0:01
= (2 0:01; 5 :004) = (1: 99; 4: 996)
esto da por resultado
f (xo ) = 5x2 + x2 + 2x1 x2
1
2
2
f (2; 5) = 5 (2) + (5)2 + 2(2)(5) = 65
que pasa con @x1 = 0:01
2
2
f (xo + @x) = 5 (1: 99) + (4: 996) + 2 (1: 99) (4: 996) = 64: 645
esto quiere decir que la variacion dado @x1 = 0:01 es de
f (xo + @x) f (xo )= 64: 645 65 = 0:355
5.- Se tiene el problema
Maximizar f (X ) = f (X ) = x2 + 2x2 + 10x2 + 5x1 x2
1
2
3
sujeta a
g1 (X ) = x1 + x2 + 3x2 x3 5 = 0
2
g2 (X ) = x2 + 5x1 x2 + x2 7 = 0
1
3
Aplique el metodo jacobiano para determinar @f (X )en la proximidad factible
del punto factible (1,1,1). Suponga que esta proximidad factible se especi…ca con
@g1 = 0:01; @g2 = 0:02; y @x1 = 0:01seespeci…can en esta vecindad
SOLUCION:
sean Y (x1; x3 ) varible dependiente y Z (x2 ) variable independiente
2

@ (x2 +2x2 +10x2 +5x x ) @ (x2 +2x2 +10x2 +5x1 x2 )
2
3
@x3

@f
@f
12
1
1
2
3
rY f = ( @x1 ; @x3 ) =
;
@x1
5x2 ; 20x3
@ (x2 +2x2 +10x2 +5x1 x2 )
@f
1
2
3
= 5x1 + 4x2
rZ f = ( @x2 ) =
@x2
"
# 2 @ (x1 +x2 +3x2 x3 5)
@g1
@g1
2
1
3
Jacobiano (J) @x2 @x2
= 4@ x2 +5x@x1 +x2 7
@g
@g
(1
)
1 x2
3
@x1

1
2x1 + 5x2

3x2
2x3

Matriz de control (C)
J

1

C=

rc f = r Z f

@x3

"

rY f J

rc f = (5x1 + 4x2 )

#

@g1
@x2
@g2
@x2

1
2x1 + 5x2
1

@x1

2

=4

3x2
2x3

@ (x1 +x2 +3x2 x3 5)
2
@x3
2
@ (x1 +5x1 x2 +x2 7)
3
@x3

@ (x1 +x2 +3x2 x3 5)
2
@x2
2
@ (x1 +5x1 x2 +x2 7)
3
@x2
!
1
2x2 + 3x3...