metodo multipasos

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional
UNEFA
Núcleo Nueva Esparta- Sede Juan Griego
METODO MULTIPASOS
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Julio Jiménez
54426-01N
Juan Griego,Junio de 2014
Métodos Multipasos
Los métodos estudiados hasta ahora son llamados métodos de un paso, porque la aproximación de la solución en el punto i + 1 de la malla se obtiene con información proveniente de la aproximación obtenida en el punto i. Aunque hay algunos métodos (Runge-Kutta) que utilizan información en puntos interiores del intervalo [ti, ti+1], no la conservan para utilizarladirectamente en aproximaciones futuras. Toda la información que emplean se obtiene dentro del subintervalo en que va a aproximarse la solución.
Como, en el momento de calcular la aproximación en el punto ti+1,  la solución aproximada está disponible en los puntos to, t1,…, ti de la malla, antes de obtener la aproximación en ti+1, y como el error |wi – y(ti)| tiende a aumentar con i, parece razonabledesarrollar métodos que usen estos datos precedentes más precisos al obtener la solución en ti+1. Se conocen como métodos multipasos a aquellos que emplean la aproximación en más de uno de los puntos de red precedentes para determinar la aproximación en el punto siguiente.
Definición:
Un método multipasos de p pasos para resolver el problema de valor inicial
(1)
es aquel método cuya ecuaciónde diferencias para obtener la aproximación wn+1 en el punto tn+1 de la malla definida por {tn = a + h n, n = 1, ..., N}, con h = (b-a)/N, puede representarse por medio de la siguiente ecuación, donde p es un entero mayor que 1:
(2)
para n = p-1, p, …, N-1, donde h = (b-a)/N, a0, a1, …, ap, b-1, …, bp son constantes y se especifican los valores iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2, …,wp-1 = ap-1. Se toma generalmente de la condición inicial el valor w0 = a (el dato de la condición inicial) y los demás valores necesarios para iniciar el método se obtienen con un método de Runge-Kutta u otro método de un paso.
Cuando b-1= 0, el método es explícito o abierto, ya que la ecuación (2) da de manera explícita el valor de wn+1 en función de los valores previamente determinados.
Cuando b-1≠ 0, elmétodo es implícito o cerrado, ya que en la ecuación (2), wn+1 se encuentra en ambos lados, quedando especificado sólo implícitamente. En la implementación de un método implícito, se debe resolver la ecuación implícita para wn+1. No es evidente que siempre se pueda resolver esta ecuación, ni que siempre se obtenga una solución única para wn+1. En caso que no se pueda resolver la ecuación, sedeberá recurrir a algún método de aproximación de ecuaciones no lineales (Newton, por ejemplo).
Aproximación polinomial
Para relacionar el método de resolución del PVI con la aproximación polinomial, se debe establecer una relación entre los coeficientes. Un polinomio de grado k está determinado de manera única por k+1 coeficientes. El método de resolución del PVI planteado tiene  2 p + 3coeficientes; por lo tanto, los coeficientes deben ser elegidos de manera que:  
2 p + 3 ≥  k + 1 (3)
El orden del método numérico es el grado más alto k de un polinomio en t tal que la solución numérica coincide con la solución exacta. Los coeficientes de la fórmula del método pueden obtenerse eligiendo un conjunto base de funciones {f1, f2, ..., fk} definidas por
(4)
y que resuelvan el conjunto deecuaciones multipasos
(5)
para todo j = 0, 1, ..., k. (porque si fj es solución de la ecuación, entonces fj' = f(t, fj ), y fj (tn-i)= wn-i )
Este método puede aplicarse para derivar varios métodos de resolución numérica de PVI de primer orden.
Consideremos por ejemplo, el caso donde p = 0 y k = 1. Estos valores de p y k satisfacen la ecuación (3) (con el signo >), por lo tanto es...