metodo numerico

METODO GAUSS – SEIDEL
El método de gauss-seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:la ecuación 1 despejar X1, de la ecuación 2 despejar X2,…, de la ecuación n despejar Xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:





Este último conjunto de ecuaciones son las queforman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables X2,…, Xn; esto dará un primer valor para x1. Másprecisamente, se tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de X1 en la ecuación 2, y las variables X3,…, Xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para X2:

Estos últimosvalores de X1 y X2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que X4,…, Xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista deprimeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:





Se vuelve a repetir el proceso, peroahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:




En este momento sepueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:






El proceso se vuelve a repetir hasta que:Importante observación respecto al método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que larespuesta es NO.
Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método.
Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple...