Metodo Operacional

Act. # 2: Conferencia # 2.- Método operacional en los circuitos eléctricos.

Sumario
• Introducción
• Transformada de Laplace
• Propiedades más importantes de la transformada de Laplace
• Circuito operacional equivalente
• Ley de Ohms
• Leyes de Kirchhoff


Introducción.
Se analizaron los circuitos eléctricos cuando los estímulos, las fuentes, eran de corriente directa ocorriente alterna o cuando el estimulo era una señal periódica no sinusoidal que admitiera desarrollo en serie de Fourier, pero no siempre las señales que se aplican a los circuitos son de estos tipos, por lo que se necesita de otra herramienta para el análisis cuando el estímulo sea cualquiera, esa herramienta la suministra la transformada de Laplace.
Aplicar la transformada de Laplace, a los circuitoseléctricos, brinda una herramienta extremadamente poderosa para el análisis y la síntesis de redes, cualquiera sea el estímulo, con la sola restricción que admita transformada de Laplace y permitirá además, definir el concepto de función de sistema o función de la red.

Transformada de Laplace.
Sea f(t) una función definida para todo t≥0, seccionalmente continua (en cualquier intervalo finitopuede presentar sólo un número finito de discontinuidades finitas) y de orden exponencial. Entonces se puede garantizar que existe la transformada de Laplace (esta es una condición de suficiencia) y se puede obtener a través de:

donde S es una variable compleja de parte real  y parte imaginaria 
S =  + j

Propiedades más importantes de la transformada de Laplace
• Linealidad
Latransformada de la suma de dos funciones es la suma de las funciones transformadas
L[a f(t) +b g(t)] = aF(s) +bG(s)
• Transformada de la derivada
L[df(t)/dt] =S F(s) -f(0)
• Transformada de la integral

• Desplazamiento en S


• Desplazamiento en el tiempo


• Transformada del producto de convolución



• Transformada de la función impulso unitario o Delta de Dirack
La funciónimpulso unitario se define como
y
y tiene como propiedad fundamental la propiedad de muestreo

de ahí se obtiene aplicando la definición de la transformada

• Tabla de transformadas de las funciones más comunes

f(t)
Función en el tiempo F(S)
Función Transformada
(t) 1/S
A m(t) A/S
(t) 1
e-at 1/(S+a)
Sen(t) (t) ω/(S2+ ω2)
Cos(t) (t) S/(S2+ω2)
Senh(wt) m(t) ω/(S2- ω2)
Cosh(wt) m(t) S/(S2- ω2)

• Transformada Inversa de Laplace

Se define también la transformada inversa de Laplace como:



y se obtiene separando en fracciones simple la función F(S) y aplicando la tabla o aplicando el teorema de Heaveside polo simple o polo múltiple.

Descomponiendo en fracciones simples

Sea la función F(s) formada por una razón depolinomios donde el polinomio del denominador es de mayor grado que el del numerador.

F(s)=N(s)/D(s)

Si D(s) tiene solo polos simples, se puede descomponer en fracciones de la siguiente forma



donde
ó


Heavarside polo simple





Donde N es el número de polos simples reales y/o complejos

Método operacional. Circuito operacionalequivalente COE
Sea el circuito de la figura, en el cual se abre el interruptor en t=0



se puede plantear el circuito para t0 es



aplicando la ley de Kirchhoff de voltaje en el tiempo se tiene


sustituyendo se obtiene una ecuación integro-diferencial, a la que se le puede aplicar la transformada de Laplace




Aplicando transformada de Laplace, conociendo que la integral entremenos infinito y cero es una constante, la transformada de una constante es la constante sobre S; la transformada de la integral de i(t) entre cero y t es la transformada de i(t) sobre S ; la transformada de la derivada de i(t) es la transformada de i(t) multiplicada por S menos i(0), por último la transformada de la fuente e(t) es E(s). Entonces



la ecuación integro-diferencial se ha...