Metodo Runge Kutta



CONTENIDO

Introducción

Objetivos

Definición: MétodoRungeKutta
RungeKutta de orden 1
RungeKutta de orden 2
RungeKutta de orden 3
RungeKutta de orden 4

Ejercicios
RungeKutta de orden 1
RungeKutta de orden 2
RungeKutta de orden 3
RungeKutta de orden 4

Implementacion en matlab

Conclusión

Bibliografía













INTRODUCCION


En el paso del tiempoy en la vida se han presentado problemas, de igual manera en nuestra carrera se presentan situaciones que pueden ser resueltas por medio de ecuaciones, dichas ecuaciones se pueden expresar en función del tiempo que transcurre a esto se le llama una razón de cambio donde una variable cambia en función de otra, dichas ecuaciones han sido resueltas a través de los métodos de integración y cálculosextensos, engorros y complicados; pero al aparecer alrededor del año 1900 un método numérico planteado por los matemáticos alemanes Carl TolméRunge y Martin Wilhelm Kuttaque consiste en resolver ecuaciones diferenciales de primer orden sin necesidad de realizar integrales y esto mezclado con las herramientas de tecnología como Excel hacen mucho más fácil la solución de dichas ecuaciones, acontinuación en el siguiente informe se presenta el método de
Runge-Kuttame












OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Aprender a resolver EcuacionesDiferenciales lineales de primerorden a través del método deRunge-Kutta.





OBJETIVOS ESPECIFICOS

Conocer ventajas y desventajas delmétodo.

Comparar el método de RungeKuttacon la solución de laecuación resuelta por métodosdeintegración.

Identificar la exactitud del método.










METODO DE RUNGE-KUTTA


El método de Runge-Kutta es un métodogenérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familiade métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David TolméRunge y Martin Wilhelm Kutta.


RUNGE-KUTTA DE PRIMER ORDEN(RK1)
Para la solución de ecuaciones por este orden se usaran las formulas

Yi+1 = Yi+ K1h
K1 = f(Xi , Yi)

RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN(RK2) O METODO DE HEUN
Para la solución de ecuaciones por este orden se usaranlas formulas

Yi+1 = Yi + h()
K1 = f(Xi , Yi)
K2 = f(Xi + h,Yi+ K1h)



RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN(RK3)
Para la solución de ecuaciones por este orden se usaran las formulas
Yi+1 = Yi(k1 + 4k2 + k3)h
K1 = f(Xi ,Yi)
K2 = f (Xi+ h , Yi+ K1h)
K3= f(Xi + h , Yi + K2h)

RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN(RK4)
Para la solución de ecuaciones por este orden se usaran las formulas
Yi+1 =Yi(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h
K1 = f(Xi ,Yi)
K2 = f (Xi+ h , Yi+ K1h)
K3= f(Xi + h , Yi + K2h)
K4 = f(Xi + h , Yi + hK3)

FORMULA PARA Xi+1 PARA TODOS LOS ORDENES:Xi+1=Xi + h

NOTA: podemos darnos cuenta de que a medida que aumenta el orden aparece una nueva pendiente (k) lo cual aumentara la precisión de la solución. También podemos apreciar que las fórmulas de las pendientes no cambian amedida que aumenta el orden, es decir, para RK2 se usa la misma fórmula para la pendiente K1 de RK1; para RK3 se usan la misma fórmula para la pendiente K1 y K2 de RK2 y así sucesivamente mientras que nuestra fórmula para hallar Yi+1 cambia dependiendo del orden que trabajemos.


EJERCICIOS

A continuación solucionaremos una ecuación diferencial paso a paso empelando los tres órdenes delmétodo runge-kutta.

Usar los 4 órdenes del método runge-kutta para aproximar Y(0.5)=1 dada la siguiente ecuación diferencial:



SOLUCION: Primero que nada, identificamos las condiciones iniciales y el intervalo de función.


Donde h será el tamaño de paso que se usara desde la condición inicial hasta la aproximación que debemos encontrar, en este caso desde 0 hasta 0.5 con paso 0.1....