Metodo Runge Kutta

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METODOS DE RUNGE KUTTA

Carlos Alberto Bedón
Carlosbubu88@hotmail.com
Universidad Internacional del Ecuador


Resumen—El objetivo de los métodos numéricos de runge-kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de euler para resolver las (EDO’S), pero con un orden de exactitud másalto que este.
Los métodos de Runge-Kutta (RK) logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores.

INTRODUCCIÓN

El método de Runge-Kutta es un refinamiento del método de Euler.
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tanpronto se conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

DESARROLLO DE CONTENIDOS


En la introducción se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden
|Y' = f(X, Y) |(1) |con la condición inicial
|Y(X0) = Y0(2) | | |


Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
|Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ...(3) | | |


Para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X = X1, X2, X3,... (4)
Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (1), en (3), se tiene que
|Yn+1 = Yn + h Y'n(5) | |


expresión que indica queel método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (1) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.


[pic]
FIG. 1
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de [pic]definidopor la expresión
|[pic] | |(4) |


en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
|[pic] | |(5) |


En donde
|[pic]| |(6) |


En el método de Euler y
|[pic] | |(7) |


En lo que
|Y' = f(X, Y) | |(8) |



Preparación del Trabajo Técnico

Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.
PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }
h =0.5 – 0 /5             h =0.1
por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5
 
ITERACIÓN I           i =0 ; x0 =0 ; y0 =2
K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)
K1 =3
 
K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)
K2 =3.088243
 
K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]
K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)
K3 =3.086037
 
K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f[0.1, 2.308603]
K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)
K4 =3.178846
 
y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}
y1(0.1) =2.308790

ITERACIÓN II          i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790
K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)
K1 =3.178753
 
K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]
K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)
K2 =3.276123 
K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]
K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)
K3 =3.273689
 
K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]
K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)
K4 =3.375964
 
y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}
y2(0.2) =2.636362

ITERACIÓN III         i =2 ; x2 =0.2 ;...