Metodo runge

MÉTODOS RUNGE - KUTTA
Diego López
Monitor
Los métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación:

Donde φ(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativasobre el intervalo.

Donde las a son constantes y las k son:

Observe que las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc.
Como cada k es una evaluación funcional, esta recurrencia hace que los métodos Runge-Kutta sean eficientes para la programación. Existen varios tipos de métodos Runge-Kutta al emplear diferentesnúmeros de términos en la función incremento como la especificada por n.
n = 1, es el método de Euler. Una vez se elige n, se evalúan las a, p y q al igualar la función incremento a los términos en la serie de expansión de Taylor. La versión de segundo orden para la ecuación en su forma generalizada es:

Donde:

Los valores de a1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundoorden de la ecuación dada con la expansión de la serie de Taylor.
Desarrollando tres ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas:
             
Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se tiene que suponer el valor de una de ellas. Suponiendo que se especificó un valor para a2, se puede resolver de manera simultánea el sistema de ecuaciones obtenido:

Como se puede elegir unnúmero infinito de valores para a2, hay un número infinito de métodos Runge-Kutta de segundo orden.
Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante.
a2 = 1/2: Método de Heun con un solo corrector, donde:

a2 = 1 : Método del punto medio.

a2 = 2/3: Método de Ralston.

Siguiendo el mismo razonamiento para n = 3, o sea,Runge-Kutta de tercer orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es:

Éste es el más popular de los métodos Runge-Kutta de cuarto orden:

Referencias:
Este módulo fue desarrollado por Diego López usando notas de clase y del libro:
HEATH,Michael; Scientific Computing: An introductory survey. McGraw Hill. 1997. Capítulo 9. Páginas 292-293.
Un método generalizado para la solución de EDO's es el que proporciona el método de Runge-Kutta, y como se verá también, este método ilustrará varios de los métodos que ya hemos observado como el de Euler, Heun y otros.

Método de Runge -Kutta
INTRODUCCION
 
El método de Runge-Kutta es unrefinamiento del método de Euler
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en lospivotes anteriores.
Dado el problema de valores iniciales

se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo y evaluar la integral aplicando la fórmula de integración numérica:
|   | (4) |

entonces

de donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de Euler
Yi+1 = Yi + h f(Xi, Yi) |   | (5) |
 
METODO DE RUNGE-KUTTA
En la introducción se estableció queel método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden
Y' = f(X, Y) |   | (7) |
con la condición inicial
Y(X0) = Y0 |   | (8) |
consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... |   | (9) |
para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X = X1, X2, X3, ...
Sustituyendo la función f(X,Y) dada...