Metodo secante

1. INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo monográfico mostraremos que es el método de la secante, cuáles son sus funciones, aplicaciones en algunas disciplinas, fórmula del método de la secante, detallando para su comprensión con algunos ejemplos para aprender.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo enmente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

2. OBJETIVOS
El objetivo del trabajo monográficoes el estudio del método de la secante (como trabaja), las diferencias con los otros métodos, demostrar sus ventajas con respecto a los otros métodos y como se usa para resolver diversos problemas de la vida real.
Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muycompleja

3. DESARROLLO
4.1. TEORIA
Método de la Secante:
El método de la secante es un método para encontrar las raíces (ceros de una función) de forma iterativa (repitiendo los pasos n-veces), se llama secante por cortar la gráfica de la función.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, se aproxima lapendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior.
Este método es casi idéntico al de regla falsa salvo por qué no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto y es más rápido que el de la Bisección.
La ventaja que tiene sobre el método Newton-Raphson es el método de Newton-Raphson requiere conocer el valorde la primera derivada de la función en el punto, en ocasiones la forma funcional de f(x) dificulta el cálculo de la derivada lo cual puede llegar a resultar engorroso. Una forma de evitar el cálculo de f’(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta .Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

El método de la secante se basa en aproximaciones iníciales X0 y X1, de cuyas intersecciones con la curva de la función f(x), o sea f(X0) y f(X1) se traza una recta secante la cual se prolonga hasta el cruce del eje Xen cuyo punto se ubica la nueva aproximación X2.

Luego el procedimiento se repite con X1 y X2 trazando una recta secante de f(X1) a f(X2) cuya intersección con el eje X genera una nueva aproximación X3 y así se prosigue hasta lograr la convergencia que será el punto donde la curva f(x) intercepta al eje X.

Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que setiene originalmente, y se va chequeando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Pasos:
1. Se definen las aproximaciones iníciales X0 y X1, calculándose las respectivas f(X0) y f(X1) como la ecuación de la función f(X).
2. Se calcula la media aproximación mediante la siguiente fórmula:

3. Verificar si se ha alcanzado el nivel demargen de error, en caso de no haberse alcanzado, ir al siguiente paso
4. Verificar que el número máximo de iteraciones permitido (si es que lo hubiera) no haya sido rebasado, en caso que así fuese, habría que detener la ejecución del método, en caso contrario proseguiremos.
5. Obtener f(Xi+1) e ir nuevamente al paso 2 para una nueva iteración.

Ejemplo:
Usar el método de la secante para...