Metodo simplex

Método Simplex
 
El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última.
La primera implementación computacional del Método Simplex es el ano 1952 para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18horas. Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con 4Kb en RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.
El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la búsqueda secuencial delalgoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial conocido como formato estándar el cual definiremos a continuación.
FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estandar, quedenotaremos en lo que sigue por:
* Min          c1x1  + c2x2  + ... + cnxn
* sa            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
*                 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
*                 ...          ...                  ...
*                 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
*                 xi >=  0,   i = 1, 2, ..., n    y    m <= n
*
Matricialmente escritocomo:
Min    cTx
s.a      Ax = b
           x >=  0
No existe pérdida de generalidad en asumir que un modelo de PL viene dado en su forma estándar:
* EJEMPLO
* P)            Max        9u + 2v + 5z
*                 sa            4u + 3v + 6z <=  50
*                                 u + 2v - 3z >=  8
*                                2u - 4v + z = 5
*                               u,v >=  0
*                                z e IR
1. Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de minimización. Si f(x) es la función objetivo a maximizar y x* es la solución óptima f(x*) >= f(x), para todo x factible. -f(x*) <= - f(x), para todo x factible. En consecuencia:  x* es también mínimo de  -f(x)
2. Cada restricción del tipo<= puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con coeficiente nulo en la función objetivo.
3. Cada restricción del tipo >= puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de exceso no negativa, con coeficiente nulo en la función objetivo.
4. Siempre es posible escribir una variable libre de signo como ladiferencia de dos variables no negativas.
Considerando la siguiente notación: u = x1, v = x2, z = x3 - x4, s1 = x5 (holgura), s2 = x6 (exceso), el problema P) puede ser escrito en forma equivalente como:
* Min         - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6
* sa:              4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 +    x5          = 50
*                      x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4             - x6  =  8*                    2x1 - 4x2 +  x3   -   x4                     =  5
*                    xi >=  0,    i=1,2,3,4,5,6.  
EJEMPLO:
Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex:
* Max     40*X1 + 60*X2
* s.a.     2*X1 + 1*X2 <= 70
*             1*X1 + 1*X2 <= 40
*             1*X1 + 3*X2 <= 90
*              X1 >=0  X2 >= 0
Para poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato estándar, para lo cual definimos X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma:
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | |
2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 70 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 40 |
1 | 3 | 0...