Metodo Simplex

Planteamiento del problema 1
Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y L2 de 10 minutos. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
Definición de variables
20 minutos = 1/3 hora
30 minutos = ½ hora
10 minutos = 1/6 hora
Fabricación
Modelos de lámparas
Horas

L1
L2

Horas manuales
1/3 hora
½ hora
100
Horas maquina
1/3 hora
1/6 hora
80
Maximizar Z
15 euros
10 euros


Análisis
F.O.
Max Z = 15 X1 + 10 X2
S.A.1/3 X1 + 1/2 X2 ≤ 100
1/3 X1 + 1/6 X2 ≤ 80
V.N.N.
X1, X2 ≥ 0
Aplicando Método Simplex Maximizar
1/3 X1 + 1/2 X2 + S1 = 100
1/3 X1 + 1/6 X2 + S2 = 80
Max Z = 15 X1 + 10 X2 + 0S1 + 0S2
Cj
15 X1
10 X2
0 S1
0 S2

0S1
1/3
1/2
1
0
100
0S2
1/3
1/6
0
1
80
Zj
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0

Cj - Zj
15 – 0 = 15
10 – 0 = 10
0 – 0 = 0
0 – 0 = 0


/*Se dividelos totales entre los valores de la columna donde se encuentra el mayor positivo y se elige el resultado más chico para seleccionar su fila*/
(100/1) / (1/3) = 300
(80/1) / (1/3) = 240
/*El valor del pivote se convertirá a uno, afectando a toda su fila. El resto de los valores de la misma columna del pivote se convertirán en cero, afectando a toda su fila*/
R4 = R2 / (1/3)
R3 = (-1/3*R4) + R1Cj
15 X1
10 X2
0 S1
0 S2

0S1
0
7/18
1
-1
20
15 X1
1
1/3
0
3
240
Zj
0 + 15 = 15
0 + 5 = 5
0 + 0 = 0
0 + 45 = 45

Cj - Zj
15 – 15 = 0
10 – 5 = 5
0 – 0 = 0
0 – 45 = -45

/*Se divide los totales entre los valores de la columna donde se encuentra el mayor positivo y se elige el resultado más chico para seleccionar su fila*/
(20/1) /(7/8) = 160/7
(240/1) / (1/3) = 720/*El valor del pivote se convertirá a uno, afectando a toda su fila. El resto de los valores de la misma columna del pivote se convertirán en cero, afectando a toda su fila*/
R5 = R3 / (7/18)
R6 = (-1/3 *R5)+ R4
Cj
15 X1
10 X2
0 S1
0 S2

10 X2
0
1
18/7
-18/7
360/7
15 X1
1
0
-6/7
27/7
1800/7
Zj
0 + 15 = 15
10 + 0 = 10
180/7 + (-90/7) = 90/7
-180/7 + 405/7 = 225/7

Cj -Zj
15 – 15 =0
10 – 10 = 0
0 – 90/7 = -90/7
0 – 225/7 = -225/7


/*Se termina el método Simplex al arrojar resultados negativos, obteniendo la solución*/
X2 = 360/7 ~ 51.42
X1 = 1800/7 ~ 257.14
Max Z = 15(1800/7) + 10(360/7)
Max Z = (27000/7) + (3600/7)
Max Z = 30600/7 ~ 4,371.42
Propuesta de solución
Para obtener el máximo beneficio, se necesitan producir 257 lámparas del modelo L1 y51 lámparas del modelo L2 Para obtener una ganancia máxima de 4,371.42 € ($79,297.55 pesos mexicanos tomando en cuenta que el euro equivale a $18.14 pesos).
Aplicando Método Simplex Minimizar
1/3 X1 + 1/2 X2 + S1 = 100
1/3 X1 + 1/6 X2 + S2 = 80
Min Z = 15 X1 + 10 X2 + 0S1 + 0S2
Cj
15 X1
10 X2
0 S1
0 S2

0S1
1/3
1/2
1
0
100
0S2
1/3
1/6
0
1
80
Zj
0 + 0 = 0
0 + 0 = 0
0 +0 = 0
0 + 0 = 0

Cj - Zj
15 – 0 = 15
10 – 0 = 10
0 – 0 = 0
0 – 0 = 0


/*Se divide los totales entre los valores de la columna donde se encuentra el mayor negativo y se elige el resultado más chico para seleccionar su fila*/
(100/1) / (1/2) = 200
(80/1) / (1/6) = 480
/*El valor del pivote se convertirá a uno, afectando a toda su fila. El resto de los valores de la misma columna delpivote se convertirán en cero, afectando a toda su fila*/
R3 = R1/(1/2)
R3 = (-1/6*R3) + R2
Cj
15 X1
10 X2
0 S1 + a1
0 S2 + a2

10 X2
2/3
1
2
0
200
0 S2
2/9
0
-1/3
1
140/3
Zj
20/3 + 0 = 20/3
10 + 0 = 10
20 + 0 = 20
0 + 0 = 0

Cj - Zj
15 – 20/3 = 25/3
10 – 10 = 0
0 – 20 = -20
0 – 0 = 0

/*Se divide los totales entre los valores de la columna donde se encuentra el...