Metodo simplex

PESQUISA OPERACIONAL

MÉTODO SIMPLEX QUADRO SIMPLEX
O Método Simplex é um procedimento matricial para resolver o modelo de programação linear na forma normal. Começando com X0 , o método localiza sucessivamente outras soluções básicas viáveis acarretando melhores valores para a função objetivo até ser obtida a solução ótima. Para os problemas de minimização, o método simplex utiliza o Quadroabaixo.

XT CT X0 C0
T

A

B
T 0

C −C

A

−C0 B

T

Para os problemas de maximização o Quadro acima é aplicado desde que os elementos da linha inferior sejam colocados com sinal invertido. Uma vez obtida esta ultima linha do Quadro, a segunda linha e a segunda coluna do Quadro, correspondentes a CT e C0, respectivamente, tornam-se supérfluas e podem ser eliminadas.

CT : vetorlinha dos custos correspondentes. X : é o vetor coluna de incógnitas (incluindo variáveis de folga, excesso e artificiais). A : é a matriz de coeficientes das equações de restrições. B : é o vetor coluna dos valores à direita das equações representando as restrições. X0: é o vetor coluna de variáveis de folga e artificiais C0 : é o vetor coluna de custo associado com as variáveis em X0

Prof.Célio Moliterno

PESQUISA OPERACIONAL Exemplo:
Minimizar: z = 80x1 + 60x2 Sujeito a : com: 0,20x1 + 0,32x2 0,25 x2 = 1 x1 + x1 e x2 não negativos

Adicionando uma variável de folga x3 e uma variável artificial x4, respectivamente, as primeira e segunda restrições. Minimizar: z = 80x1 + 60x2 + 0x3 + Mx4 0,20x1 + 0,32x2 + x3 = 0,25 x1 + x2 +x4 = 1 com todas as variáveis não negativas Passandopara forma normal matricial
X [ x1 , x2 , x3 , x4 ] T 0,20 0,32 1 0 1 1 0 1 C [ 80 , 60 , 0 , M ]T 0,25 1

A

B

X0

x x

3 4

C −C

T

T 0

A = [ 80 , 60 , 0 , M ] – [ 0 , M ]

0,20 0,32 1 0 1 1 0 1

[ 80 , 60 , 0 , M ] – [ 0 + M , 0 + M , 0 , M ] [ 80 , 60 , 0 , M ] – [ M , M , 0 , M ]

[ 80 – M , 60 – M , 0 , 0 ]
−C0 B = -[0,M]
T

0,25 =-M 1

Prof. Célio MoliternoPESQUISA OPERACIONAL
QUADRO SIMPLEX

X1 80 X3 0 X4 M 0,20 1

X2 60 0,32 1

X3 0 1 0 0

X4 M 0 1 0 0,25 1 -M

80-M 60-M

Exercício: Maximizar: sujeito a: z = x1 + 9x2 + x3 x1 + 2x2 + 3x3 3x1 + 2x2 + 2x3 9 15

com: todas as variáveis não negativas

Passando para forma Matricial

X

[ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] T

C

[ 1 , 9 , 1 , 0 , 0 ]T

A

1 2 3 1 0 3 2 2 0 1

B9 15

X0

x x

4 5

Prof. Célio Moliterno

PESQUISA OPERACIONAL
QUADRO SIMPLEX

X1 1 X4 0 X5 0 1 3

X2 9 2 2

X3 1 3 2

X4 0 1 0

X5 0 0 1 9 15

QUADRO 1

(Quadro inicial completo)

X1 X4 X5 1 3 -1

X2 2 2 -9

X3 3 2 -1

X4 1 0 0

X5 0 1 0 9 15 0

− C0 B

T

C −C

T

T 0

A

Prof. Célio Moliterno

PESQUISA OPERACIONAL

O MÉTODO SIMPLEXLocalize o número mais negativo da última linha do quadro Passo 1 simplex, excluída a última coluna, e chame a coluna em que este número aparece de coluna de trabalho. Se existir mais de um candidato a número mais negativo, escolha um. Passo 2 Forme quocientes da divisão de cada número positivo da coluna de trabalho pelo elemento da última coluna da linha correspondente (excluindo-se a última linha doquadro).Designe por pivô o elemento da coluna de trabalho que conduz ao menor quociente. Se mais de um elemento conduzir ao mesmo menor quociente, escolha um. Se nenhum elemento da coluna de trabalho for positivo, o problema não terá solução. Passo 3 Use operações elementares sobre as linhas a fim de converter o elemento pivô em 1 e, em seguida, reduzir a zero todos os outros elementos da coluna detrabalho. Passo 4 Substitua a variável x existente na linha pivô e primeira coluna pela variável x da primeira linha e coluna pivô. Esta nova primeira coluna é o novo conjunto de variáveis básicas. Passo 5 Repita os passos de 1 a 4 até a inexistência de números negativos na última linha, excluindo-se desta apreciação a última coluna. Passo 6 A solução ótima é obtida atribuindo-se a cada...