Metodo simplez

Método Simplex
El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última.
La primera implementación computacional del Método Simplex es el ano 1952 para un problema de 71 variables y 48 ecuaciones. Su resolución tarda 18horas. Luego, en 1956, un código llamado RSLP1, implementado en un IBM con 4Kb en RAM, admite la resolución de modelos con 255 restricciones.
El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la búsqueda secuencial delalgoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial conocido como formato estándar el cual definiremos a continuación.
FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Consideremos un modelo de Programación Lineal en su forma estandar, que denotaremosen lo que sigue por:
* Min          c1x1  + c2x2  + ... + cnxn
* sa            a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
*                 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
*                 ...          ...                  ...
*                 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
*                 xi >=  0,   i = 1, 2, ..., n    y    m =  0
No existe pérdida de generalidad enasumir que un modelo de PL viene dado en su forma estándar:
* EJEMPLO
* P)            Max        9u + 2v + 5z
*                 sa            4u + 3v + 6z =  8
*                                2u - 4v + z = 5
*                                u,v >=  0
*                                z e IR
1. Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de minimización.Si f(x) es la función objetivo a maximizar y x* es la solución óptima f(x*) >= f(x), para todo x factible. -f(x*) =  0,    i=1,2,3,4,5,6.  
EJEMPLO:
Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex:
* Max     40*X1 + 60*X2
* s.a.     2*X1 + 1*X2 = 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida latabla inicial del método de la siguiente forma:
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | |
2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 70 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 40 |
1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 90 |
-40 | -60 | 0 | 0 | 0 | 0 |
En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas(X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo". En este caso, X2.
Luego, para escoger que variable básica deja la base debemos buscar el mínimo cuociente entre el lado derecho y los coeficientes asociados a la variable entrante en cada fila (para aquellos coeficientes > 0 marcados en rojo en la tabla anterior). El mínimo sealcanza en Min {70/1, 40/1, 90/3} = 30 asociado a la tercera fila, el cual corresponde a la variable básica actual X5, en consecuencia, X5 deja la base. En la posición que se alcanza el mínimo cuociente lo llamaremos "Pivote" (marcado con rojo) el cual nos servirá para realizar las respectivas operaciones filas, logrando la siguiente tabla al cabo de una iteración:
X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | |5/3 | 0 | 1 | 0 | -1/3 | 40 |
2/3 | 0 | 0 | 1 | -1/3 | 10 |
1/3 | 1 | 0 | 0 | 1/3 | 30 |
-20 | 0 | 0 | 0 | 20 | 1800 |
El valor de la función objetivo luego de una iteración ha pasado de 0 a 1.800. Se recomienda al lector hacer una representación gráfica del problema y notar como las soluciones factibles del método corresponden a vértices del dominio de puntos factibles.

La actual...