metodo o regla de simpson
Páginas: 3 (704 palabras)
Publicado: 25 de abril de 2013
Método O Regla De Simpson
La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de ThomasSimpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
Introducción
En integración numérica, Una forma deaproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, paraluego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando lossubintervalos de f mediante polinomios de segundo grado.
Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando entre losnodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de LaGrange es:
Así, la integral buscada
es equivalente a
donde E(f) esel término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:
Error
El término error E(f), llamado error global, corresponde a
donde y pertenece al intervalo [a,b].
Se puede calcular unaestimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos) está acotado comodonde, de nuevo y .
Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurrea la fórmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que , donde para .
Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo tenemos:...
La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de ThomasSimpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:
Introducción
En integración numérica, Una forma deaproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, paraluego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando lossubintervalos de f mediante polinomios de segundo grado.
Derivación de la regla de Simpson
Consideramos el polinomio interpolante de orden dos , que aproxima a la función integrando entre losnodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la interpolación polinómica de LaGrange es:
Así, la integral buscada
es equivalente a
donde E(f) esel término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:
Error
El término error E(f), llamado error global, corresponde a
donde y pertenece al intervalo [a,b].
Se puede calcular unaestimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método. Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos) está acotado comodonde, de nuevo y .
Regla de Simpson compuesta
En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurrea la fórmula compuesta de Simpson. Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que , donde para .
Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo tenemos:...
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