Metodo y lugar de las raices

El método del lugar de las raíces.

Las características de un sistema de lazo cerrado son determinadas por los polos de lazo cerrado. Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuacióncaracterística. Para encontrarlos se debe descomponer en factores la ecuación característica lo que resulta muy laborioso. El método del lugar de las raíces está basado en técnicas de tanteo y error y es unprocedimiento gráfico, por el cual se trazan las raíces de la ecuación exactamente para todos los valores de un parámetro del sistema que normalmente es la ganancia K variándola desde O a ∞.

Estemétodo permite encontrar los polos de lazo cerrado partiendo de los polos y ceros de lazo abierto tomando a las ganancias como parámetro.

Un ejemplo sería: Encontrar las posiciones de los polos delazo cerrado variando K algunos valores a partir de la función de transferencia de lazo abierto:
GH(S) = K
S(S+2)
Para encontrar los polos de lazo cerrado se resuelve laecuación característica
1+ GH(S) =0
1+ K =0
S(S+2)
S2 + 2S + K =0
Resolviendo queda :
S1,2 = -1 ± (1 – K) ½
K=O S1=0 S2=-2 K= 1 S1= -1 S2= -1
K=2 S1= - 1+ j S2= - 1 – j K= ( S1= -1+ j( S2= -1 -j(

Si extendernos los puntos en una gráfica en el plano S se tiene

[pic]

Por lo complicado que sería el trazo para todos los valores de K y ecuaciones de orden superior a 2 seprefiere usar el trazado del lugar de las raíces usando reglas de construcción y los criterios de ángulo y de magnitud.

Criterio de magnitud y el criterio del ángulo.

C(S)= G(S)
R(S)1+G(S)H(S)

[pic]

Criterio de magnitud
| GH(S) | = 1

Criterio del ángulo
[pic]

Formas de representación de un numero complejo.

[pic]

Forma polar.
[pic]

Forma exponencial.
[pic]Propiedades de los números complejos.
[pic]
[pic]
Interpretación geométrica del lugar de las raíces.
Consideremos una función del tipo:
[pic]
(Los ángulos de las magnitudes complejas...