Metodo

Razones de cambio relacionadas
A veces al estudiar las razones de cambio de algunas cantidades, la derivada que nos interesa
tiene que calcularse a partir dela raz´on a la que cambia alguna otra de las variables que
s´ı sabemos como cambia.
Al resolver problemas en los que intervienen razones de cambiorelacionadas, es necesario
conocer la relaci´on entre las variables a trav´es de alguna f´ormula o ecuaci´on general. Esto es
particularmente usual en problemasgeom´etricos, por lo cual se aconseja repasar las principales
f´ormulas para hallar per´ımetros, ´areas y vol´umenes de la geometr´ıa elemental, as´ı como las
relacionesde semejanza. Algunos problemas tambi´en involucran conceptos de f´ısica que es
necesario repasar, como velocidad, aceleraci´on, etc., que se deben tenerpresentes durante el
proceso.
Ejemplo
Si una bola de nieve se funde de modo que su ’area superficial disminuye a raz’on de 1 cm2/min,
encontrar la raz’on a la cualdisminuye el di’ametro cuando es de 10 cm.
Soluci´on
Para resolver el problema necesitamos hallar una relaci’on entre el di’ametro de la esfera de nieve
y sudi’ametro. El ’area de una esfera de radio r es
A = 4πr2,
entonces
dA
dr
= 8πr.
Por otra parte, el di’ametro y el radio est’an relacionados por medio deD = 2r,
entonces
dD
dt
= 2dr
dt
.
Sabemos como dato que
dA
dt
= 1 cm2/min.
Por regla de la cadena se tiene que
dA
dt
= dA
dr
dr
dt
,
as’ı quedespejando tendremos que
dr
dt
=
dA
dt
dA
dr
=
1cm2/min
8πr
=
1cm2/min
4πD
,
finalmente

dD
dt
= 2dr
dt
=
1cm2/min
2πD
≈ 0.015915 cm/min.